prime

素数判定算法，经典的Rabin Miller测试，通过二次探测的方法，可以将其正确率上升到一个很高的高度。

 

$O(1)$的快速乘。

在一些卡常数而且爆long long的取余问题中用到快速乘。

朴素的快速乘是$O(logn)$的，从而添加了不必要的复杂度。

爆long long的，实质上是取余的结果，在long long运算中只要不涉及除法，那么一直是对INF取余的结果，对答案没有干扰。

LL mul(LL a,LL b,LL mod){
    if(a<=(LL)(1e8) && b<=(LL)(1e8)) return a*b%mod;
    return (a*b - (LL)(a/(LD)mod*b + 1e-3)*mod + mod) % mod;
}

注意快速乘在很小的数字时并不太稳，所以特判一下。

注意一下Linux下rand()函数足够大，不需要拓充。

转入正题：Rabin测试。

我的Rabin在INT范围内不会出错，在LOGN LONG范围内出错的概率极低。

首先是写一个check(LL x,LL P)，用数字x检验P是否为素数。

bool check(LL x,LL P){
    LL tmp=P-1;
    while(!(tmp&1)) tmp>>=1;
    LL m=qpow(x,tmp,P);
    if(m==1) return 1;
    while(tmp<P){
        if(m==P-1) return 1;
        tmp<<=1; m=mul(m,m,P);
    }
    return 0;
}

梳理一下过程

首先将P-1中所有的2全都除掉。

这时候如果tmp 为 P-1 或者 1是伪素数。（具体就用 $x^{tmp} = 1 (mod P)$判定）

这时候检查$x^{2tmp} , x^{4tmp}, x^{8tmp} ....$是否等于 $P-1$。

如果没有则说明P不是素数。

接下来基于这一个$O(logn)$判定素数，我们有$O(n^{1/4})$的分解质因数算法。

Rho算法。

Rho算法是基于一个定理对于一个小于n的数字x如果 $(x,n) ≠ 1$ 则有，(x,n)为n的因子。

这样考虑怎样高效地得到这样的数字x。

LL Rdo(LL n,LL c){
    LL i=1,k=2,x,y,d,p;
    x=Rand()%n;
    y=x;
    while(1){
        i++;
        x=(mul(x,x,n)+c)%n;
        if(y==x) return n;
        p=Abs(x-y);
        d=gcd(p,n);
        if(d!=1&&d!=n) return d;
        if(i==k){
            y=x;
            k+=k;
        }
    }
}

int tot;
LL a[N];

void down(LL n){
    if(n==1) return;
    if(isprime(n)){
        a[++tot]=n;
        return;
    }
    LL t=n;
    while(t==n) t=Rdo(n,Rand()%(n-1)+1);
    down(t);
    down(n/t);
}

这样就可以得到了分解质因数的高效方法。

注意一个数字的质因子最多有$O(logn)$个，因为质因数的乘积为n，而且质因数都大于1.

注意在随机数据情况下，采用朴素分解质因数的效率也大概接近 $O(n^{frac{1}{4}})$，只不过会受到空间的限制。

for(int i=1;prime[i]*(LL)prime[i]<=tmp;i++)
{
    int cnt = 0;
    tim_cnt++;
    while(tmp % prime[i] == 0) tmp /= prime[i];
    ans *= (cnt+1);
}

注意是 <=tmp 而不是 <=n 

给定一个整数N，求N最少可以拆成多少个完全平方数的和。 

所以根据拉格朗日平方和定理，答案为1~4

答案为1，开方验证

答案为2，根据勾股数定理一个数字为勾股数当且仅当其质因数分解中所有的$4n+3$项的指数为偶数。

答案为3，根据初等数论中的不等式 $n ≠ (8k + 7)  cdot 4^{m}$

不然答案为4，根据 拉格朗日平方和定理即可。