AOE网与AOV网

有向无环图（Directed Acycline Graph, DAG）是一类特殊的有向图。DAG有着广泛应用，AOE网和AOV网都是DAG的典型应用。

AOV网

AOV网（Activity On Vertex NetWork）用顶点表示活动，边表示活动（顶点）发生的先后关系。AOE网的边不设权值，若存在边<a,b>则表示活动a必须发生在活动b之前。

若网中所有活动均可以排出先后顺序（任两个活动之间均确定先后顺序），则称网是拓扑有序的，这个顺序称为网上一个全序。(详情参见离散数学/图论相关内容)。

在AOE网上建立全序的过程称为拓扑排序的过程，这个算法并不复杂：

在网中选择一个入度为0的顶点输出
在图中删除该顶点及所有以该顶点为尾的边
重复上述过程，直至所有边均被输出。

若图中无入度为0的点未输出，则图中必有环。

程序源码：

#include<stdlib.h>
#include<stdio.h>
#include<string.h>

#define M 10001

int n, m, matrix[M][M], i, j;
int book, indegree[M]; //book 已排序的顶点个数

int main()

{

    int a, b, k;

    scanf("%d %d",&n, &m);
    //init
    for (i=1; i<=m; i++) {
        scanf("%d %d",&a, &b);
        matrix[a][b]=1;
        indegree[b]++;
    }

    for (i=1; i<=n; i++) {
        for (j=1; j<=n; j++) {
            if (indegree[j] == 0) { //遍历所有入度为0的顶点
               indegree[j] = -1;
               book++;
               for (k=1; k<=n; k++) {
                   if (matrix[j][k]==1) { //遍历所有入度为1的顶点
                      matrix[j][k]=0;     //remove edge e
                      indegree[k]--;       //update
                   }
               }
               break;
            }
        }
    }
    printf("%d
", book);
    return 0;
}

AOE网

AOE网(Activity On Edge Network)是边表示活动的网，AOE网是带权有向无环图。边代表活动，顶点代表所有指向它的边所代表的活动均已完成这一事件。由于整个工程只有一个起点和一个终点，网中只有一个入度为0的点（源点）和一个出度为0的点（汇点）。

相关时间的计算：

事件最早发生时间：

即之前所有活动均完成所需的时间，由耗时最长的路径决定。

具体判断时可以在直接前驱的最早发生时间 + 两者之间活动时间组成的集合中寻找最大值。

事件的最晚发生时间：

事件的最晚发生时间以不影响工程最终完成时间为原则。

源点(汇点)的最早发生时间和最晚发生时间相同。

对与事件j的最晚发生时间可以采用：汇点的发生时间减去到j的最长路径来求得。

活动的最早开始时间:

活动的的开始时间与事件发生时间相互联系，活动的最早发生时间为其起点事件的最早发生时间。

活动的最晚开始时间

活动的最晚开始时间为其终点的最晚开始时间减去活动进行的时间。

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<algorithm>
 4 using namespace std;
 5 const int maxn=1007;
 6 int n;
 7 struct Node{
 8   int st,en,ti;
 9 }node[maxn];
10 bool cmp(Node a,Node b){
11   return a.en<b.en;
12 }
13 int main(){
14   cin>>n;
15   for(int i=1;i<=n;i++){
16     cin>>node[i].ti>>node[i].en;
17     node[i].st=node[i].en-node[i].ti;
18   }
19   sort(node+1,node+n+1,cmp);
20   for(int i=n-1;i>=1;i--){
21     if(node[i].en>node[i+1].st){
22       node[i].en=node[i+1].st;
23       node[i].st=node[i].en-node[i].ti;
24     } 
25   }
26   //for(int i=1;i<=n;i++) cout<<node[i].st<<" "<<node[i].en<<endl; 
27   if(node[1].st<0) cout<<"-1"<<endl;
28   else cout<<node[1].st<<endl;
29   return 0;
30 }

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