「原根」与「阶」

阶

定义：
设(p>1,gcd(a,p)==1)，那么使得(a^r≡1 (mod p))成立的最小正整数(r)就称为(a)模(p)的阶.记作(ord_p(a))

并且(ord_p(a))总是可以整除(φ(p))即(φ(p))是(ord_p(a))

(ecause a^{φ(p)}≡1 (mod p)且a^{ord_p(a)}≡1 (mod p))

(设φ(p)=k*ord_p(a)+w win[0,ord_p(a) ))

( herefore 1≡a^{φ(p)}≡(a^{ord_p(a)})^k*a^w≡1^k*a^w≡a^w (mod p))
由定义，(ord_p(a))是满足(a^r≡1 (mod p))的最小正指数，而(w<ord_p(a)),故有(w==0)因此(φ(p)=k*ord_p(a))
( herefore ord_p(a)整除φ(p))

原根

定义：
一个数(a)是一个(p)是原根，则(a^i( mod p))的结果两两不相同，其中，(i∈[1,φ(p)],a∈[1,φ(p)]。)
如果 (a) 与 (p) 是互质的整数且 (p>0)，那么当 (a\%p)的阶(ord_p(a)=φ(p))时，称 (a) 为模 (p) 的原根。
就是在多个(a)都可以满足(a^{φ(p)}≡1 (mod p))其中({φ(p)})是使得(a)模(p)等于(1)的最小正整数就称
(eg: p=5,φ(5)=4)
(1^4\%5=1;2^4\%5=1;3^4\%5=1;4^4\%5=1)
但是其中只有(2)和(3)是模(5)的原根.

(ecause 满足1^r\%5=1的最小正整数是1，)
(满足4^r\%5=1的最小正整数是2，满足a^r≡1 (mod p)的最小正整数不是φ(p))

$ herefore 1和4不是模5的原根$

质数(p)原根求法：
给出一个质数(p,φ(p)=p-1)
将(φ(p))通过唯一分解定理可以得到：(φ(p)=P_1^{k_1}*P_2^{k_2}*...*P_n^{k_n})其中((P_1,P_2,..,P_n))都是质数
然后枚举(a),若(a^{frac{φ(p)}{p_i}} eq 1(mod p) i in(1,2,...,n))
则(a)是模(p)的一个原根

原根性质：

1. 所有的质数(m)都可以找到原根，且个数是(φ(m-1))
2. 不是所有的整数都有原根
3. 若模(m)可以找到原根，那么(m)一定可以表示成({2,4,p^n，2·p^n})这些形式的一种，其中(p)是奇质数
4. 若模(m)可以找到原根，那么它能找到原根的个数一定是(φ(φ(m)))
5. 模(m)的最小原根大小是(O_{m_{0.25}})的。所以有些东西你枚举就够了

51nod-1135 求最小原根

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int M=1e5+10;
int p[M],cnt;
void ol(ll n)//将φ(m)唯一定理分解
{
    for(int i=2;i*i<=n;i++)
    {
        if(n%i==0)
        {
            p[cnt++]=i;
        }
        while(n%i==0)
        {
            n/=i;
        }
    }
    if(n>1)
    {
        p[cnt++]=n;
    }
    return ;
}
ll qpow(ll a,ll n,ll mod)
{
    ll ans=1;
    ll base=a;
    while(n)
    {
        if(n&1)
        {
            ans=ans*base%mod;
        }
        base=base*base%mod;
        n>>=1;
    }
    return ans%mod;
}
ll query(ll n)
{
    if(n==2||n==4)
    {
        return n-1;
    }
    cnt=0,ol(n-1);
    for(int i=2;i<n;i++)//从小到大遍历a
    {
        int flag=1;
        for(int j=0;j<cnt;j++)
        {
            if(qpow(i,(n-1)/p[j],n)==1)//根据原根求法
            {
                flag=0;
                break;
            }
        }
        if(flag==1)//输出最小的原根
        {
            return i;
        }
    }
}
int main( )
{
    ll n;
    while(~scanf("%lld",&n))
    {
        printf("%lld
",query(n));
    }
    return 0;
}