浅谈Manacher算法

Manacher

manacher是一种(O(n))求最长回文子串的算法，俗称马拉车（滑稽）

直接步入正题

首先可以知道的是：每一个回文串都有自己的对称中心，相应的也有自己的最大延伸长度（可以称之为“半径”）

我们设(rad[i])表示以(i)为中心的回文子串的半径，那么只需要知道所有的(rad[i])就可以求出最长回文子串了

从(1)到(n)枚举(i)，求解(rad[i])

设当前已经求到了(rad[k])，设前(k-1)个数中(rad[i]+i)（即右端点）最大的数为(mid)，令(r=mid+rad[mid])

那么可以证明一个点(i)关于(mid)的对称点是(2 imes mid-i)（两点距离公式）

opt1：如果(kleq r)

方便起见，令(j=2 imes mid-k)

1.若(j-rad[j]>mid-rad[mid])，即以(j)点为中心的最长回文子串的左端点在以(mid)为中心的最长回文子串的左端点右边，则(rad[i])可以直接由(rad[j])转移过来（因为(2 imes mid-r)~(mid)和(mid)~(r)是对称的，所以(k)的半径和(j)的半径是一样的），即(rad[i]=rad[j])

2.若(j-rad[j]leq mid-rad[mid])，则(rad[k])至少是(r-k)。接下来再暴力延伸，顺便更新(mid)和(r)

opt2：如果(k>r)

直接暴力延伸，顺便更新(mid)和(r)

可以发现每次暴力延伸的时候，暴力延伸多少，(r)也会变化多少，且(r)是递增的且不超过(n)的数

关于复杂度：

由于每一个字符最多只会被遍历一次，所以复杂度是(O(n))的

实现细节：

1.由于长度为偶数的回文串对称中心并不能实际找到，所以在两个字符之间插入#。这样不会影响答案，并且可以解决这个问题

2.对于不同情况的相似之处可以合并到一起来降低码量，如op1.1的直接转移和opt1.2的转移等

3.不要忘了更新(mid)和(r)

4.注意下标

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
char cString[22000005];
int iRad[22000005];
int iLen,iAns;

void read()
{
	char c = getchar();
	cString[0] = '|', cString[++iLen] = '#';
	while(c < 'a' || c > 'z') c = getchar();
	while(c >= 'a'&& c <= 'z') cString[++iLen] = c, cString[++iLen] = '#', c = getchar();
}

int main()
{
	read();//读入 
	for(int i = 1, mid = 0, r = 0; i <= iLen; i++)
	{
		if(i <= r) iRad[i] = min(iRad[mid * 2 - i], r - i + 1);//opt1
		while(cString[i - iRad[i]] == cString[i + iRad[i]]) ++iRad[i];//opt1.2,opt2 尝试暴力延伸 
		if(i + iRad[i] > r) r = i + iRad[i] - 1, mid = i;//更新mid和r 
		if(iRad[i] > iAns) iAns = iRad[i];//更新答案 
	}
	printf("%d", iAns-1);
}