传送门
我是真的垃圾啊，我就不能独立的做完一道题吗
这个题还是莫比乌斯反演
但是很神奇的出现了(prod)，先不管它，先把答案式写出来
[ans=prod_{i=1}^{n}prod_{j=1}^{m}f[gcd(i,j)]
]
然后一贯的套路，枚举(gcd)的值
[ans=prod_{d=1}^{n}prod_{i=1}^{n}prod_{j=1}^{m}prod_{gcd(i,j)==d}f(d)
]
然后发现(f(d))的个数等于(gcd(i,j)=d)的个数
那么我们就可以把答案式写成这样
[ans=prod_{d=1}^{n}f(d)^{sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)==d]}
]
然后设(g(d))，(F(d))反演
[g(d)=sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)==d]\
F(d)=sum_{d|x}g(x)=sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{m}[d|gcd(i,j)]=lfloor frac{n}{d}
floorlfloor frac{m}{d}
floor\
g(d)=sum_{d|x}mu(frac{x}{d})F(x)=sum_{d|x}mu(frac{x}{d})lfloor frac{n}{x}
floorlfloor frac{m}{x}
floor\
]
那么答案式就可以进行转换
[ans=prod_{d=1}^{n}f(d)^{g(d)}
]
然后我们就得到了一个(O(Tn))的做法，并不能通过
但是我只会到这一步，又得去看题解，发现题解多了几步转化
[g(d)=sum_{T=1}^{n}mu(frac{T}{d})lfloor frac{n}{T}
floorlfloor frac{m}{T}
floor\
]
然后将(T)提出来
[ans=prod_{T=1}^{n}prod_{d|T}f(T)^{mu(frac{T}{d})lfloor frac{n}{T}
floorlfloor frac{m}{T}
floor}
]
然后发现(lfloor frac{n}{T} floorlfloor frac{m}{T} floor)可以整除分块
再改一下
[ans=prod_{T=1}^{n}prod_{d|T}(f(T)^{mu(frac{T}{d})})^{lfloor frac{n}{T}
floorlfloor frac{m}{T}
floor}
]
最后怎么解决(f(T)^{mu(frac{T}{d})})的问题呢，暴力预处理枚举倍数就好了
最后可以做到(O(sqrt{n}*logn))单组询问
代码：
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cstring>
using namespace std;
void read(int &x) {
char ch; bool ok;
for(ok=0,ch=getchar(); !isdigit(ch); ch=getchar()) if(ch=='-') ok=1;
for(x=0; isdigit(ch); x=x*10+ch-'0',ch=getchar()); if(ok) x=-x;
}
#define rg register
const int maxn=1e6+10,mod=1e9+7;
int T,n,m,f[maxn],nf[maxn],mu[maxn],pri[maxn],tot,ans,g[maxn];bool vis[maxn];
int mi(int a,int b)
{
int ans=1;
while(b)
{
if(b&1)ans=1ll*ans*a%mod;
b>>=1,a=1ll*a*a%mod;
}
return ans;
}
void prepare()
{
mu[1]=1;
for(rg int i=2;i<=1e6;i++)
{
if(!vis[i])pri[++tot]=i,mu[i]=-1;
for(rg int j=1;j<=tot&&pri[j]*i<=1e6;j++)
{
vis[pri[j]*i]=1;
if(!(i%pri[j]))break;
else mu[i*pri[j]]=-mu[i];
}
}
f[1]=nf[1]=nf[0]=g[1]=1;
for(rg int i=2;i<=1e6;i++)g[i]=1,f[i]=(f[i-1]+f[i-2])%mod,nf[i]=mi(f[i],mod-2);
for(rg int i=1;i<=1e6;i++)
if(mu[i])
for(rg int j=i;j<=1e6;j+=i)
g[j]=1ll*g[j]*(mu[i]==1?f[j/i]:nf[j/i])%mod;
for(rg int i=2;i<=1e6;i++)g[i]=1ll*g[i]*g[i-1]%mod,nf[i]=mi(g[i],mod-2);
}
int main()
{
read(T),prepare();
while(T--)
{
read(n),read(m);if(n>m)swap(n,m);ans=1;
for(rg int i=1,j;i<=n;i=j+1)
{
j=min(n/(n/i),m/(m/i));
int t=1ll*(n/i)*(m/i)%(mod-1);
ans=1ll*ans*mi(1ll*g[j]*nf[i-1]%mod,t)%mod;
}
printf("%d
",ans);
}
}