对于$w=ax^2+bxy+cy^2$,可以将其化简为:
$$w=frac{1}{4a}left[4a^2left(x+frac{b}{2a}y ight)^2+left(4ac-b^2 ight)y^2 ight]$$
该式由两个平方项组成,其中$4a^2left(x+frac{b}{2a}y ight)^2ge0$,$left(4ac-b^2 ight)y^2$的符号不确定。当两个平方项的系数都为正数的时候存在极值点,当$age0$时,有极大值,当$ale0$时,有极小值。一正一负的时候存在鞍点(saddle point),当$left(4ac-b^2 ight)y^2=0$的时候暂时不能确定。
上式同样可以化简为:
$$w=y^2left[aleft(frac{x}{y} ight)^2+bleft(frac{x}{y} ight)^2+c ight]$$
其中,$y^2ge0$,$Delta=b^2-4ac$,如果$Delta>0$,则$aleft(frac{x}{y} ight)^2+bleft(frac{x}{y} ight)^2+c$的值可能大于0,也可能小于0,也就意味着$w$存在鞍点;如果$Delta<0$,则$aleft(frac{x}{y} ight)^2+bleft(frac{x}{y} ight)^2+c$的值要么都大于0,要么都小于0,取决于$a$的值,当$a>0$时,$w$存在最小值,当$a<0$时,存在最大值。