设输入为$x$，表示训练集的特征向量，输出为$y={1,-1}$，这些向量都属于两类中的其中一类，假设这些向量是线性可分的，现在要找一个最优的平面（在二维的时候为一条直线），将这些特征向量正确分类，除此之外，能够将新的输入分到合适的类。
设中间直线方程为
$$hat omega x+hat b=0$$
好了，svm中不是还有另外两条边界线吗？他们就是中间这条直线的左膀右臂，而且到中间这条直线的距离是一样的，这两条边界线正好和两侧的特征向量紧挨着，他们的方程就可以表示为
$$hat omega x+hat b=k\
hat omega x+hat b=-k$$
为什么等号右边一个是$k$，一个是$-k$呢，因为他们到中间直线的距离都一样啊，只是方向不一样而已，好了，下面做个简单的变换，将等号两边同时除以$k$，则得到
$$frac {hat omega x}{k}+frac{hat b}{k}=1\
frac {hat omega x}{k}+frac{hat b}{k}=-1$$
好了，此时再设
$$
omega=frac {hat omega}{k} \
b=frac{hat b}{k}
$$
那么，两条边界直线就变成了
$$omega x+b=1\
omega x+b=-1$$
而且将两式相加，就得到中间的直线方程了
$$omega x+b=0$$
看到了吧，很多文章都在讲什么函数间隔，几何间隔，我不讲这些概念，我只讲距离，免得绕来绕去绕到死胡同里。
这个时候，如何求两条边界线之间的距离呢？
简单，因为两条边界到中间直线的距离相等，所以只需要求出一条边界线到中间直线的距离，再乘以2，就得到结果了。那怎么求一条边界线到中间直线的距离呢？
这个简单，运用高中数学空间几何的知识就搞定了，设点P在中间直线上，点Q在边界直线上，那么$$overrightarrow{PQ} cdot omega = |overrightarrow{PQ}|cdot cos( heta) cdot |omega|=dcdot|omega|$$
好了，$overrightarrow{PQ} cdot omega$等于多少呢？就等于1啦，因为$omega$是法向量，点P在中间直线上，点Q在边界直线上，将两条直线方程相减，等号左边就是$overrightarrow{PQ} cdot omega$，等号右边就是1.
所以一条边界线到中间直线的距离$d$等于多少呢？
$$d=frac{1}{|omega|}$$
那么，两条边界线之间的距离也就是$frac{2}{|omega|}$了
好了，只要能够求出$d$取最大值时的$omega,b$值，就可以得到最优的分类直线了，当然，在高维空间，就可以得到最优的分类超平面了！
要知道，只有紧挨着边界线的向量到中间直线的距离才是$d$，边界线以外的向量到中间直线的距离都要大于$d$，因为两类分别为${1,-1}$，所以必须要满足
$$
y_i (omega x_i + b) ge 1
$$
要求$frac{1}{|omega|}$的最大值，也就等价于求$frac{1}{2}{||omega||}^2$的最小值，这样写的目的是为了转换成凸优化问题，方便求解。好了，此时问题已经很明确了，可用数学语言表示为
$$
egin{align*}
&min limits_{omega, b} && frac{1}{2}{Vert omega Vert}^2 \
&s.t. && y_i (omega x_i + b) ge 1,i=1,2,ldots,N
end{align*}
$$
其中$N$为样本点的个数