[cf1153f]Serval and Bonus Problem

• 题目链接

  cf1153f

• 题目大意

  在长为 (l) 的线段上均匀随机 (n) 条线段，求被至少 (k) 条线段覆盖的期望长度。

  对 (998244353) 取模。

  (1le kle nle 2000,1le lle 10^9)

• 题解

  提供一个 (mathcal O(n)) 的做法。

  不妨设 (l=1) 。

  考虑每个点被覆盖的概率，显然有：

  [p_x=sum_{i=k}^ninom{n}{i}(2x(1-x))^i(1-2x(1-x))^{n-i} ]

  然后我们直接积分：

  [Ans=int_0^1sum_{i=k}^ninom{n}{i}(2x(1-x))^i(1-2x(1-x))^{n-i}dx\ =sum_{i=k}^ninom{n}{i}int_0^1(2x(1-x))^isum_{j=0}^{n-i}inom{n-i}{j}(-1)^j(2x(1-x))^{j}dx\ =sum_{i=k}^ninom{n}{i}sum_{j=0}^{n-i}(-1)^jinom{n-i}{j}2^{i+j}int_0^1x^{i+j}(1-x)^{i+j}dx ]

  然后我们发现后面是一个 (Beta) 积分，所以可以化成：

  [Ans=sum_{i=k}^ninom{n}{i}sum_{j=0}^{n-i}(-1)^jinom{n-i}{j}2^{i+j}B(i+j+1,i+j+1) ]

  其中 (B(x,y)=frac{(x-1)!(y-1)!}{(x+y-1)!}) 。

  然后注意到 (inom{n}{i}inom{n-i}{j}=inom{n}{i+j}inom{i+j}{j}) 。

  所以我们可以先枚举 (i+j) ，那么有：

  [Ans=sum_{i=k}^ninom{n}{i}2^iB(i+1,i+1)sum_{j=0}^{i-k}(-1)^jinom{i}{j} ]

  基本上所以题解到这就直接将式子展开做卷积，但实际上，我们有：

  [sum_{j=0}^{i-k}(-1)^jinom{i}{j}\ =sum_{j=0}^{i-k}(-1)^jleft(inom{i-1}{j}+inom{i-1}{j-1} ight)\ =sum_{j=0}^{i-k}(-1)^jinom{i-1}{j}-sum_{j=0}^{i-k-1}(-1)^jinom{i-1}{j}\ =(-1)^{i-k}inom{i-1}{i-k} ]

  所以

  [Ans=sum_{i=k}^n(-1)^{i-k}inom{i-1}{i-k}inom{n}{i}2^iB(i+1,i+1) ]

  这样我们就能在 (mathcal O(n)) 的复杂度内解决问题。