差分算子
首先，有一个关于”算子“的定义：如果一个运算作用在函数上，则我们称这个运算为“算子”。
显然，多项式的卷积、狄利克雷卷积等都是算子。
在迈入高等数学的大门时，我们遇到过一个强劲的算子：微分算子。$ ext Df(x) = displaystyle lim _{h o 0}frac{f(x + h)-f(x)}{h}$. 由于微分算子使用了无穷小，所以微分算子用于连续数学。但是对于别的函数——它们只能在整数范围内取值，微分算子就无法通用。
面对离散数学，定义差分算子 $Delta$: $displaystyle Delta f(x)= f(x+1)-f(x)$。容易看出，差分算子给出相邻的整数之间函数值的差。
有限微积分
众所周知，微分里有一个很妙的公式：$ ext D(x^m)=mcdot x^{m-1}$.
差分有没有类似的公式呢？
来考虑下降阶乘幂：$x^{underline m} = x cdot (x-1) cdot (x-2)cdots (x-m+1)$.
手推一番，我们发现 $Delta(x^{underline m})=mcdot x^{underline {m-1}}$.
有什么用？
牛顿-莱布尼茨公式：$g(x)= ext Df(x)$，则有 $displaystyle int _a ^b g(x) = f(b) - f(a)$. 类似的，可以构造出和式：
首先，我们令 $ extstyle sum _a^bf(x)=displaystyle sum_{i=a}^{b-1}f(x)$. 注意两个 $Sigma$之间的区别
那么有基本定理：
如果$g(x)=Delta f(x)$,则有$ extstyle sum_a^b g(x) = f(b)-f(a)$.
如何理解这个公式？举个例子。假设我们找到了$g(x)=Delta f(x)$，那么我们可以快速求出：
$displaystyle sum_{i=1}^{n} g(x) = extstyle sum_{1}^{n+1}g(x)=f(n+1)-f(1)$
应用
求$displaystyle sum_{i=0}^{100}x^2$.
首先，我们把$x^2$表示成下降阶乘幂的形式，得到$g(x)=x^2=x(x-1)+x=x^{underline 2}+x^{underline 1}$. 然后构造$g(x)$的原函数：$f(x)=frac{1}{3}x^{underline 3}+frac{1}{2}x^{underline 2}=frac{x(x-1)(x-2)}{3}+frac{x(x-1)}{2}$. 于是有$displaystyle sum_{i=0}^{100}x^2 = extstyle sum^{101}_0g(x)=f(101)-f(0)=frac{101cdot 100 cdot 99}{3}+frac{101 cdot 100}{2} =338350$，这就是有限微积分.