图中长度为k的路径的计数

题意

给出一个有向图，其中每条边的边长都为1。求这个图中长度恰为 $k$ 的路劲的总数。($1 leq n leq 100, 1 leq kleq 10^9$)

分析

首先，$k=1$ 时答案就等于边数。

当 $k=2$，$G_2[i][j] = sum_{w=1}^nG_1[i][w] imes G_1[w][j]$，相当于选取一个中间节点 $w$，只要存在合适的 $w$ ，$u,v$ 之间就存在通路。

以此类推，$G_k = G^k$ 表示恰好走 $k$ 步的情况，只需统计其中非零元素的个数。

这个算法的复杂度为 $O(n^3logn)$.

如果是求 $k$ 步之内的路径数，只需将每种情况累加，即 $S = A+A^2+...+A^k$，这个复杂度也能做到 $O(n^3 log n)$.

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;

typedef long long ll;
struct matrix
{
    int r, c;
    int mat[105][105];
    matrix(){
        memset(mat, 0, sizeof(mat));
    }
};
int n, m, k;

matrix mul(matrix A, matrix B)   //矩阵相乘
{
    matrix ret;
    ret.r = A.r; ret.c = B.c;
    for(int i = 0;i < A.r;i++)
        for(int k = 0;k < A.c;k++)
            for(int j = 0;j < B.c;j++)
            {
                ret.mat[i][j] = (ret.mat[i][j] + A.mat[i][k] * B.mat[k][j]) > 0 ? 1 : 0;  //只要区分0和非0即可
            }
    return ret;
}

matrix mpow(matrix A, int n)
{
    matrix ret;
    ret.r = A.r; ret.c = A.c;
    for(int i = 0;i < ret.r;i++)  ret.mat[i][i] = 1;
    while(n)
    {
        if(n & 1)  ret = mul(ret, A);
        A = mul(A, A);
        n >>= 1;
    }
    return ret;
}

int  main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
    matrix A;
    A.r = A.c = n;
    for(int i = 0;i < m;i++)
    {
        int u, v;
        scanf("%d%d", &u, &v);
        A.mat[u-1][v-1] = 1;
    }
    A = mpow(A, k);
    int ans = 0;
    for(int i = 0;i < n;i++)
        for(int j = 0;j < n;j++)  ans += A.mat[i][j];
    printf("%d
", ans);

    return 0;
}