线性筛

对于一个数论函数(f)，当(gcd(a,b)=1)时，(f(ab)=f(a)f(b))，则称其为积性函数

对于一个数论函数(f)，若 (f(ab)=f(a)f(b))，则称其为完全积性函数

线性筛流程：

① 处理素数(p)

② 处理(i imes p) ，其中(i)是任意正整数，(p mid i) ，(p) 是素数，(p)是(i imes p)的最小素因子

③ 处理(i imes p)，其中(i)是任意正整数，(p mid i)，(p)是素数，(p)是(i)的最小素因子，(p)是(i imes p)的最小素因子

应用举例：

欧拉函数(φ(x))表示([1, x])里的所有整数中，与(x)互质的数的个数

(φ(p)=p-1)（(p)为素数）

(φ(n)=nPi frac{p_i-1}{p_i})

① (φ(p)=p-1)

② (φ(i imes p)=φ(i) imes φ(p)=φ(i) imes (p-1))

③ (φ(i imes p)=npPi frac{p_i-1}{p_i}=p imes φ(i))

(code:)

phi[1]=1;
for(ll i=2;i<=n;++i)
{
	if(!tag[i])
	{
		pri[++tot]=i;
		phi[i]=i-1;
	}
	for(ll j=1;j<=tot;++j)
	{
		ll k=i*pri[j];
		if(k>n) break;
		tag[k]=true;
	    if(i%pri[j]!=0) 
			phi[k]=phi[i]*phi[pri[j]];
		else
		{
			phi[k]=phi[i]*pri[j];
			break;
		}
	}
}