BSGS

BSGS

求解 (a^x equiv b pmod{p},a ot p)。

由欧拉定理 (a^{varphi(m)} equiv 1 pmod{m},a ot m) 得方程的解取值范围为 ([1,varphi(m)])。

设 (x=A sqrt p - B,0 leqslant A,B leqslant sqrt p)，得：

[largeegin{aligned} a^{A sqrt p - B} &equiv b pmod{p} \ a^{A sqrt p} &equiv a^Bb pmod{p} end{aligned} ]

先枚举 (B) 算出 (a^Bb) 的所有取值，然后枚举 (A) 算出 (a^{A sqrt p})，查找是否有相等的 (a^Bb)。复杂度为 (O(sqrt p))。

防止出现负数解，(A) 的枚举范围为 ([1,sqrt p])，(B) 的枚举范围为 ([0,sqrt p])。

为保证正确性，(sqrt p) 要上取整。

扩展BSGS

求解 (a^x equiv b pmod{p})，不保证 (a ot p)。

因为此时不保证 (a ot p)，不一定存在逆元，所以不能直接做。

设 (g_1=gcd(a,p))，方程同除 (g_1) 得：

[large frac{a}{g_1}a^{x-1} equiv frac{b}{g_1} pmod{frac{p}{g_1}} ]

若 (a ot ot frac{p}{g_1})，就设 (g_1=gcd(a,frac{p}{g_1}))，方程同除 (g_2) 得：

[large frac{a^2}{g_1g_2}a^{x-2} equiv frac{b}{g_1g_2} pmod{frac{p}{g_1g_2}} ]

设变换了 (k) 次，直到 (a ot frac{p}{g_1g_2 dots g_k})，在过程中，若 (g_k ot mid frac{b}{g_1g_2 dots g_{k-1}}) 则方程无解。

设 (G= prodlimits_{i=1}^k g_i)，得：

[large frac{a^k}{G}a^{x-k} equiv frac{b}{G} pmod{frac{p}{G}} ]

由 (a ot frac{p}{G}) 得 (frac{a^k}{G} ot frac{p}{G})，此时 (frac{a^k}{G}) 存在逆元，得：

[large a^{x-k} equiv frac{b}{a^k} pmod{frac{p}{G}} ]

然后直接应用 (BSGS) 求解即可。

注意到解可能小于等于 (k)，因此还需进行验证。

ll bsgs(ll a,ll b,ll p)
{
    ll s=ceil(sqrt(p)),v=b,val;
    for(int i=0;i<=s;++i,v=v*a%p) h[v]=i;
    v=val=qp(a,s,p);
    for(int i=1;i<=s;++i,v=v*val%p)
        if(h.count(v))
            return i*s-h[v];
    return -1;
}
ll exbsgs(ll a,ll b,ll p)
{
    a%=p,b%=p;
    if(b==1||p==1) return 0;
    ll g,cnt=0,mul=1,v=a;
    for(int i=1;i<=30;++i,v=v*a%p)
        if(v==b)
            return i;
    while((g=exgcd(a,p))!=1)
    {
        if(b%g!=0) return -1;
        cnt++,b/=g,p/=g,mul=mul*(a/g)%p;
    }
    ll ans=bsgs(a,b*inv(mul,p)%p,p);
    if(~ans) return ans+cnt;
    return -1;
}