定理
(inom{n+m}{m}) 质因数分解后 (p) 的幂次为 (n+m) 在 (p) 进制下的进位次数。其中 (p) 为质数。
证明
因为 (inom{n+m}{m}) 等于 (frac{(n+m)!}{n!m!})，所以 (inom{n+m}{m}) 质因数分解后 (p) 的幂次为：
[large
sum_{igeqslant 1} leftlfloor frac{n+m}{p^i}
ight
floor-leftlfloor frac{n}{p^i}
ight
floor-leftlfloor frac{m}{p^i}
ight
floor \
]
考虑对于 (leftlfloor frac{n}{p^i} ight floor)，其意义为 (n) 在 (p) 进制下去掉后 (i) 位得到的数，因此 (n+m) 在第 (i+1) 位进位的充要条件为 (leftlfloor frac{n+m}{p^i} ight floor-leftlfloor frac{n}{p^i} ight floor-leftlfloor frac{m}{p^i} ight floor=1)。