「JOISC 2020 Day4」首都城市
进行点分治，考虑最终的连通块是否经过当前分治中心，若经过，则当前分治中心的颜色必选，否则分治递归处理。
若一个颜色必选，当前连通块中所有为该颜色的点都要选，一个点被选同时也意味着其到当前分治中心路径上的点也都要选，不断迭代得到当前分治中心的答案即可。
还有另一种做法：若颜色 (i) 形成的虚树上有颜色为 (j) 的点，则 (i) 向 (j) 连边，意思为选了 (i) 则必选 (j)。对所有缩点后出度为 (0) 的点取 (siz-1) 的最小值即为答案。可以用树剖线段树来优化建图。
「JOISC 2019 Day2」两个天线
只用考虑 (i<j,h_i>h_j) 的情况，另一种情况取反后再做一遍即可。考虑扫描线，每个位置 (i) 维护其对应的 (h_i-h_j) 的最大值。
(i) 往后起作用的区间为 ([i+a_i,i+b_i])，将其在相应的位置加入删除即可，加入就是将维护的第一项赋值为 (h_i)，删除就是将其赋值为 (-infty)。
(j) 往前起作用的区间为 ([j-b_j,j-a_j])，将这段区间的第二项和 (-h_j) 取 (max) 即可。
这些操作都可以在线段树上来实现，就是单点修改和区间打标记。
「JOISC 2019 Day2」两道料理
考虑暴力 (DP)，设 (f_{i,j}) 为第一种到第 (i) 步，第二种到第 (j) 步的最大权值，复杂度为 (O(nm))，无法接受，考虑优化。
将 (DP) 放到网格图上来考虑，从 ((0,0)) 走到 ((n,m))，转移时权值的贡献可以转化为网格图的点是否在路径下方或路径上，如果在，则加上对应的权值。
进一步观察 (DP) 的过程，发现其从上一列转移过来时，就是先对一些后缀加上一个权值，然后往前不断取 (max) 转移过来。考虑对行差分，后缀加变成单点加，然后若一个位置为负数，则将其后面第一个非零位置加上这个数，然后将该位置清零，这样就实现了取 (max) 的过程。
用 (set) 维护非零位置，线段树维护差分即可。
「JOISC 2020 Day3」星座 3
考虑从下往上扫描，对每个纵坐标维护出和该位置冲突且已经选了的星星的权值和。新加入一个星星时，比较删除该星星和删除和其冲突的星星权值，删去权值更小的情况然后更新对应位置的权值即可。
用树状数组维护权值，实现区间加和单点查。发现向上扫描时还需知道每个纵坐标往左往右拓展最远的位置，用两个并查集维护即可。
还有一个笛卡尔树的做法，建出笛卡尔树后，星星等价于笛卡尔树上的一条链，于是问题就转化为了在树上选出若干条不相交的链，使得权值和最大。(DP) 方式和 [NOI2020] 命运 类似，同样也是线段树合并实现整体 (DP)。
「JOISC 2019 Day3」穿越时空 Bitaro
先将第 (i) 个城市的时间减去 (i)，这样走向下一个城市就不会流逝时间了，移动就是水平的了：
考虑用一些二元组 ((l,r)) 和三元组 ((a,b,v))，来描述经过一段城市的情况。
二元组 ((l,r)) 表示进入这段城市的时刻在区间 ([l,r]) 内时，通过这段城市不产生费用，二元组的合并就是取交，当不存在交集时就会产生三元组。
三元组 ((a,b,v)) 表示进入这段城市的时刻至多为 (a)，出去的时刻至少为 (b)，费用为 (v)。二元组、三元组的合并是满足结合律的，因此可以用线段树来维护。
还有另一种维护分段函数的做法。对于一个城市，可以经过其的时刻为一个区间，因此出去时刻和费用都是关于进入时刻的一次函数，归纳发现对于一段城市，出去时刻和费用是关于进入时刻的三段分段函数。用线段树来维护这个分段函数即可。
「JOISC 2019 Day4」蛋糕拼接 3
发现只要按 (c) 从小到大排序就能使 (sumlimits_{j=1}^m|c_{k_j}-c_{k_{j+1}}|) 达到最小值 (2(c_{max}-c_{min}))。
将蛋糕按 (c) 从小到大排序后，问题就转化为了选出一个贡献最大的区间 ([l,r])，区间 ([l,r]) 的贡献为该区间最大的 (m) 个 (v) 的和减去 (2(c_r-c_l))。
类似于 [IOI2014] holiday 假期，本题也是具有决策单调性的，对于每个 (l)，最优的 (r) 是单调不降的。感性理解为什么有决策单调性就是因为新加入一个 (r) 后，对于 (l_1<l_2)，(l_2) 获得的贡献是大于等于 (l_1) 的。
用分治求解最优决策点，主席树求区间前 (m) 大的和即可。
「JOISC 2020 Day2」有趣的 Joitter 交友
将二元环缩为一个点集，发现点集都为团，且一个点向点集内任意一点连边后，该点会向这个点集内所有点都连边。并查集维护每个点所在的点集，(set) 维护每个点集内的点，出边指向的点集，入边所在的点集，入边的起点，像 [WC2021] 括号路径 一样启发式合并点集即可。
「JOISC 2020 Day4」治疗计划
不用按时间顺序来考虑区间，可以直接考虑区间间的两两合并，用 (DP) 来表示就是设 (f_i) 为 (t_i) 时刻 ([1,r_i]) 都已经被治愈的最小费用，(i) 能转移到 (j) 当且仅当 (r_i-l_j+1geqslant |t_i-t_j|)。
发现转移类似最短路，直接线段树优化建图跑最短路复杂度是 (O(mlog^2 m)) 的。
实际上有更优的做法：和 [NOI2019] 弹跳 一样，可以不把边建出来，先把绝对值去掉，得 (r_i+1-t_igeqslant l_j-t_j) 和 (r_i+1-t_igeqslant l_j+t_j)，用两棵线段树维护 (l_i-t) 和 (l_i+t_i) 最小值。最短路过程中取出一个点 (x) 后，去两棵线段树上暴力找 (x) 能转移到的点，转移后把这些点的位置的权值设为 (infty) 即可。因为费用为点权，所以每个点只会被松弛一次，得复杂度为 (O(mlog m))。
「JOISC 2018 Day 3」比太郎的聚会
注意到 (sum y_i) 和 (n) 同阶，考虑根号分治。当 (y_igeqslant sqrt n) 时，这样的询问最多有 (sqrt n) 个，暴力拓扑排序求最长路即可。当 (y_i< sqrt n) 时，预处理每个点到达的最远的 (sqrt n) 个点，因为删去的点 (y_i< sqrt n)，所以答案一定在预处理的点中产生，直接扫一遍预处理的点即可。
「JOISC 2019 Day3」指定城市
(E_j=1) 的情况可以通过换根 (DP) 求出，(E_j=2) 的情况选的两个点一定是两个叶子节点，在 (lca) 处统计贡献即可。可以证明，对于 (E_j>2) 时，一定存在一种情况使得 (E_j-1) 的最优选择点是 (E_j) 的最优选择点的子集，也就是每次新增一个点。线段树维护 (dfs) 序，每次加入收益最大的点，并把其贡献删除即可。
「JOISC 2020 Day1」扫除
先不考虑插入操作，向右扫和向上扫相当于对一个区间内的点横坐标或纵坐标取 (max)。若两种操作都存在时，一种操作会影响另一种操作的有效范围，如先向上扫后，向右扫能影响到的点的横坐标的区间会缩小：
影响另一种操作的有效范围也是一个区间取 (max) 的操作，先按时间顺序处理出每个操作的有效范围，然后对横纵坐标分开维护即可。
再考虑上插入操作，一个点可能中途加入，这样就打破了原先点集阶梯状的分布了，但一个点从插入到查询受到的操作是一个连续的区间，用线段树分治来维护即可。用线段树就能实现区间取 (max)，单点查询。
「JOISC 2019 Day4」合并
一条边两侧的子树出现同种颜色后，这条边就是合法的。将每种颜色的点形成的最小连通块缩成一个点，这里可以用并查集来实现。然后整棵树就都是由不同颜色的点构成的了，答案即为这棵树的最小链覆盖（用最少的链覆盖所有边），设叶子数为 (cnt)，最小链覆盖为 (leftlceil frac{cnt}{2} ight ceil)。
「JOISC 2017 Day 1」港口设施
考虑两个物品，进出栈时间分别为 (l_1,r_1) 和 (l_2,r_2)，若有 (l_1<l_2<r_1<r_2)，则这两个物品一定在不同栈中。将形如这样的物品间连一条边，若形成的图是二分图则有合法方案，设连通块个数为 (cnt)，答案即为 (2^{cnt})。直接连边复杂度无法接受，发现一段区间都被连过边后，之后往这个区间的连边只需连一条边来保证连通性，用并查集即可维护。
「JOISC 2017 Day 3」长途巴士
先对乘客按 (D_i) 排序，服务站按 (S_imod T) 排序。
考虑对乘客进行 (DP)，设 (f_i) 表示考虑了前 (i) 名乘客的最小花费，得转移为：
第一个转移就是保留乘客 (i) 到终点，第二个转移是通过少买水，在第 (k) 个服务站将 ([j+1,i]) 的乘客下车。
发现转移是斜率优化的形式，但斜率不单调，用栈维护凸包后二分即可。