感知机（perceptron）原理总结

目录

• 1. 感知机原理
• 2. 损失函数
• 3. 优化方法
• 4. 感知机的原始算法
• 5. 感知机的对偶算法
• 6. 从图形中理解感知机的原始算法
• 7. 感知机算法(PLA)的收敛性
• 8. 应用场景与缺陷
• 9. 其他
• 10. 参考资料

1. 感知机原理

感知机是二分类的线性分类模型，本质上想找到一条直线或者分离超平面对数据进行线性划分

• 适用于线性可分的数据集，否则感知机不会收敛

假设有一个数据集(D = {(x_1, y_1), (x_2, y_2), ..., (x_N, y_N)})，其中(x_i in R^n)，即(x_i = (x_i^{(1)}, x_i^{(2)}, ...x_i^{(n)}))

• 模型的输入为实例的特征向量(x_i)，输出为实例的类别，取值为+1（正例）或者-1（负例）
• 我们希望找到一个分离超平面(w^Tx + b = 0，其中w in R^n)，使得有满足(w^Tx + b > 0)的实例所对应的类别为正例。而使得满足(w^Tx + b < 0)的实例所对应的类别为负例。

于是我们可以构建出感知机模型为：(f(x) = sign(w^Tx + b))

2. 损失函数

定义损失函数一个很自然的想法是建立在误分类点的个数上，但是使用误分类点的个数来构造损失函数并不容易优化

• 因此使用误分类点到分离超平面的总距离来构造损失函数

记M为误分类点的集合，误分类点到分离超平面的总距离为：

[L(w, b) = sum_{x_i in M}frac{| w^Tx_i + b |}{parallel w parallel} ]

不考虑(frac{1}{parallel w parallel})（因为上式中，分子和分母有固定倍数的关系），并且去掉绝对值，就可以得到感知机的损失函数为：

[L(w, b) = sum_{x_i in M} -y_i (w^Tx_i + b) ]

此时对于误分类点，(-y_i (w^Tx_i + b) > 0)成立

3. 优化方法

此时感知机算法就转变为，求解参数(w, b)，使得损失函数极小化，即

[underset {w, b}{arg min L(w, b)} = underset {w, b}{arg min} sum_{x_i in M} -y_i (w^Tx_i + b) ]

因为只有对误分类点才会对损失函数进行优化，因此感知机的优化采用随机梯度下降法（SGD），而非使用所有样本的批量随机梯度下降法（BGD）

损失函数(L(w, b))的梯度为：

[frac{partial L(w, b)}{partial w} = -sum_{x_i in M} y_i x_i ]

[frac{partial L(w, b)}{partial b} = -sum_{x_i in M} y_i ]

对于SGD，选取一个误分类点进行更新，即有：

[w_{t+1} = w_t + alpha y_ix_i ]

[b_{t+1} = b_t + alpha y_i ]

4. 感知机的原始算法

训练集包括N个样例，样本中包含n个特征，标记为二分类取值为-1或者+1

• 输入的样例：({(x_1, y_1), (x_2, y_2), ..., (x_N, y_N)})，学习率：(alpha)
• 输出分离超平面的系数w, b

算法执行步骤如下：

1. 初始化w, b以及学习率(alpha)
2. 在训练集选取数据((x_i, y_i))
3. 如果满足(-y_i(sign(w^Tx_i + b)) > 0)，则

[w_{t+1} = w_t + alpha y_i x_i ]

[b_{t+1} = b_t + alpha y_i ]

4. 转至2，直到训练集中没有误分类点

5. 感知机的对偶算法

对偶形式的基本想法是，将(w)和(b)表示为实例(x_i)和标记(y_i)的线性组合的形式，通过求解它的系数来求解(w)和(b)

假设初始值(w_0)和(b_0)都为0，因此(w)和(b)可以表示成(x_iy_i)和(y_i)的增量形式，即原始形式可以化成：

[w_{t+1} = sum_{i=1}^{N}eta_i y_i x_i ]

[b_{t+1} = sum_{i=1}^N eta_i y_i ]

其中，(eta_i = n_i alpha)，(n_i)表示第(i)个实例(x_i)更新的次数

此时，模型转变为

[f(x) = sign(sum_{j=1}^N eta_j x_j y_j x + b) ]

训练集包括N个样例，样本中包含n个特征，标记为二分类取值为-1或者+1

• 输入的样例：({(x_1, y_1), (x_2, y_2), ..., (x_N, y_N)})，学习率：(alpha)
• 输出分离超平面的系数(eta), b

算法执行步骤如下：

1. 初始化(eta), b以及学习率(alpha)
2. 在训练集选取数据((x_i, y_i))
3. 如果满足(y_i(sign(sum_{j=1}^N eta_j y_j x_j x_i + b)) <= 0)，则

[eta_j(t+1) = eta_j(t) + alpha ]

[b_{t+1} = b_t + alpha y_i ]

4. 转至2，直到训练集中没有误分类点

其中，训练实例可以通过计算Gram矩阵（即(x_i)和(x_j)的内积组成的矩阵）的形式来存储

6. 从图形中理解感知机的原始算法

为了方便说明，记(hat w = (w, b))，(hat x = (x, 1))，则感知机模型可以变为：

[f(x) = sign(hat w^T hat x) ]

之前我们说明了，只有误分类点才会对(hat w)进行更新。因此，考虑以下两种情况：

1. 真实类别为y=+1, 但是模型的输出为-1

   • 考虑到(hat w^T hat x = |hat w||hat x|cos heta)
   • 对于真实类别，我们希望说明(hat w^T hat x > 0)，即(hat w)和(hat x)的夹角越小越好，而模型的输出有(hat w^T hat x < 0)，则说明(hat w)和(hat x)的夹角过大
   • 因此，我们可以通过减少(hat w)和(hat x)的夹角来达到目的，即有(hat w(t+1) = hat w(t) + hat x(t))（对应着(w_{t+1} = w_t + alpha y_i x_i)，且(alpha = 1)的情况）
   • (y_i hat w_{t+1}^T hat x_i = y_i hat w_t^T hat x_i + y_i parallel hat x_i parallel geq y_i hat w_t^T hat x_i)
     

2. 真实类别为y=-1, 但是模型的输出为+1

   • 考虑到(hat w^T hat x = |hat w||hat x|cos heta)
   • 对于真实类别，我们希望说明(hat w^T hat x < 0)，即(hat w)和(hat x)的夹角越大越好，而模型的输出有(hat w^T hat x > 0)，则说明(hat w)和(hat x)的夹角过小
   • 因此，我们可以通过增大(hat w)和(hat x)的夹角来达到目的，即有(hat w(t+1) = hat w(t) - hat x(t))（对应着(w_{t+1} = w_t - alpha y_i x_i)，且(alpha) = 1的情况）
   • (y_i hat w_{t+1}^T hat x_i = y_i hat w_t^T hat x_i - y_i parallel hat x_i parallel = y_i hat w_t^T hat x_i + parallel hat x_i parallel geq y_i hat w_t^T hat x_i)
     

其实，无论对于误分类的情况1还是情况2，总有(y_i hat w_{t+1}^T hat x_i = geq y_i hat w_t^T hat x_i)，因为(y_i hat w_t^T hat x_i)的符号代表是否分类正确，大小代表分类超平面是否将其“分得很开”，上面的不等式说明了，对于某个误分类点来说，更新后要比更新前要好，算法PLA对该误分类点“学习”了。

7. 感知机算法(PLA)的收敛性

对于线性可分的数据集，总能找到一个或者多个分类超平面能将该数据集划分，这表明了PLA的收敛性。

• 这部分主要参考林轩田的《机器学习基石》，个人觉得讲得要比李航的《统计学习方法》要清晰，虽然证明本质上是一样的

说明两个向量的相似性有很多方法，其中计算两个向量的内积是一种方法。当内积越大，表明两个向量越相似。当然，这需要考虑向量的长度，当模长越大时，向量的内积也会越来越大。

• 符号说明：(w_f)代表真实的w，(w_t)代表我们找到的w，这里为了符号简洁些，不记成(hat w)，但是含义一样，即(w_f)和(w_t)里面包含(b)，记学习率(alpha = 1)

1. 先讨论(w_f)和(w_t)的内积，(w_0)为0向量
   egin{equation}
   egin{split}
   w_f^T w_t & = w_f^T(w_{t-1} + y_ix_i) \
   & = w_f^T w_{t-1} + y_i w_f^T x_i \
   & geq w_f w_{t-1} + underset {i} {min} (y_i w_f^T x_i) \
   & geq w_f w_0 + t underset {i} {min} (y_i w_f^T x_i) \
   & = t underset {i} {min} (y_i w_f^T x_i)
   end{split}
   end{equation}

2. 讨论(w_f)和(w_t)的模长，由于只有误分类点才更新，所以有(y_i w_{t}^T x_i leq 0)
   egin{equation}
   egin{split}
   parallel w_t parallel^2 & = parallel w_{t-1} + y_ix_i parallel^2 \
   &= parallel w_{t-1} parallel^2 + 2y_i w_{t_1}^T x_i + parallel y_ix_i parallel^2 \
   & leq parallel w_{t-1} parallel^2 + parallel x_i parallel^2 \
   & leq parallel w_{t-1} parallel^2 + underset {i} {max} parallel x_i parallel^2 \
   & leq parallel w_{0} parallel^2 + t underset {i} {max} parallel x_i parallel^2 \
   & = t underset {i} {max} parallel x_i parallel^2
   end{split}
   end{equation}

3. 讨论(w_f)和(w_t)的角度
   egin{equation}
   egin{split}
   1 geq cos heta = frac{w_f^T w_t}{parallel w_f parallel parallel w_t parallel} &
   geq frac{t underset {i} {min} (y_i w_f^T x_i)}{parallel w_f parallel sqrt{t underset {i} {max} parallel x_i parallel^2}} \
   & = frac{sqrt{t} underset {i} {min} (y_i w_f^T x_i)}{parallel w_f parallel sqrt{underset {i} {max} parallel x_i parallel^2}}
   end{split}
   end{equation}

4. 化解得到t的关系式

[t leq frac{parallel w_f parallel^2 underset {i} {max} parallel x_i parallel^2}{underset {i} {min} (y_i w_f^T x_i)^2} = frac{R^2}{ ho^2} ]

其中，$$R^2 = underset {i} {max} parallel x_i parallel^2, ho = frac{underset {i} {min} (y_i w_f^T x_i)}{parallel w_f parallel}$$

由上述不等式说明了，更新次数是有上限的，这也就证明了收敛性

8. 应用场景与缺陷

• 感知机仅限于数据线性可分的情况，对于线性不可分的情况，该算法不收敛。
• 感知机的收敛步数受两类别之间间隔的影响。间隔越小，收敛的步数越大。

9. 其他

从感知机的分类原理中，可以看出满足条件的超平面并不止一个，不同的超平面依赖于参数的初始值。也就是说感知机模型可以有多个解。

• 泛化能力最好的决策超平面
  • 能够将两个类型的样本分开
  • 能够最大化决策边界附近的两类型之间的距离

当然，感知机也是神经网络的重要基础，因此也可以从神经网络的角度来说明

10. 参考资料

• 李航《统计学习方法》
• 林轩田《机器学习基石》