poj3415 Common Substrings（后缀数组，单调栈 | 后缀自动机）

 

【题目链接】

 

　　http://poj.org/problem?id=3415

 

【题意】

 

　　A与B长度至少为k的公共子串个数。

【思路】

　　

　　基本思想是将AB各个后缀的lcp-k+1的值求和。首先将两个字符串拼接起来中间用未出现的字符隔开，划分height数组，这首先保证了每一组中字符串之间的公共子串至少有k长度，组与组之间互不干扰。

　　问题变成了求一个组中一个A串与之前B串形成的LCP(lcp-k+1)和一个B串与之前A串形成的LCP，问题是对称的，这里先解决第一个。用一个单调栈，栈中存放两个元素分别height_top与cnt_top，分别表示到i为止的最小height和A串的数目。维护栈中元素的height从顶到底递减：每加入一个元素如果该元素比栈顶元素小则需要将tot中cnt_top个已经累计的height_top全部替换为当前元素的height（lcp是取区间最小值）。

     时间复杂度为O(n)。

【代码】

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#define FOR(a,b,c) for(int a=(b);a<=(c);a++)
using namespace std;

typedef long long LL;
const int maxn = 400000 + 10;

int s[maxn];
int sa[maxn],c[maxn],t[maxn],t2[maxn];

void build_sa(int m,int n) {
    int i,*x=t,*y=t2;
    for(i=0;i<m;i++) c[i]=0;
    for(i=0;i<n;i++) c[x[i]=s[i]]++;
    for(i=1;i<m;i++) c[i]+=c[i-1];
    for(i=n-1;i>=0;i--) sa[--c[x[i]]]=i;
    for(int k=1;k<=n;k<<=1) {
        int p=0;
        for(i=n-k;i<n;i++) y[p++]=i;
        for(i=0;i<n;i++) if(sa[i]>=k) y[p++]=sa[i]-k;
        for(i=0;i<m;i++) c[i]=0;
        for(i=0;i<n;i++) c[x[y[i]]]++;
        for(i=0;i<m;i++) c[i]+=c[i-1];
        for(i=n-1;i>=0;i--) sa[--c[x[y[i]]]]=y[i];
        swap(x,y);
        p=1; x[sa[0]]=0;
        for(i=1;i<n;i++) 
            x[sa[i]]=y[sa[i]]==y[sa[i-1]] && y[sa[i]+k]==y[sa[i-1]+k]?p-1:p++;
        if(p>=n) break;
        m=p;
    }
}
int rank[maxn],height[maxn];
void getHeight(int n) {
    int i,j,k=0;
    for(i=0;i<=n;i++) rank[sa[i]]=i;
    for(i=0;i<n;i++) {  
        if(k) k--;
        j=sa[rank[i]-1];
        while(s[j+k]==s[i+k]) k++;
        height[rank[i]]=k;
    }
}

int n,k;
char a[maxn],b[maxn];
int sta[maxn][2];

int main() {
    while(scanf("%d",&k)==1 && k) {
        scanf("%s%s",a,b);
        int lena=strlen(a),lenb=strlen(b);
        n=0;
        for(int i=0;i<lena;i++) s[n++]=a[i];
        s[n++]=1;
        for(int i=0;i<lenb;i++) s[n++]=b[i];
        s[n]=0;
        
        build_sa('z'+1,n+1);
        getHeight(n);
        
        int top=0;
        LL ans=0,tot=0;
        for(int i=1;i<=n;i++) {
            if(height[i]<k) top=0,tot=0;
            else {
                int cnt=0;
                if(sa[i-1]<lena) {
                    cnt++; tot+=height[i]-k+1;
                }
                while(top && height[i]<=sta[top-1][0]) {
                    top--;
                    tot+=(height[i]-sta[top][0])*sta[top][1];
                    cnt+=sta[top][1];
                }
                sta[top][0]=height[i],sta[top++][1]=cnt;
                if(sa[i]>lena) ans+=tot;
            }
        }
        top=tot=0;
        for(int i=1;i<=n;i++) {
            if(height[i]<k) top=0,tot=0;
            else {
                int cnt=0;
                if(sa[i-1]>lena) {
                    cnt++; tot+=height[i]-k+1;
                }
                while(top && height[i]<=sta[top-1][0]) {
                    top--;
                    tot+=(height[i]-sta[top][0])*sta[top][1];
                    cnt+=sta[top][1];
                }
                sta[top][0]=height[i],sta[top++][1]=cnt;
                if(sa[i]<lena) ans+=tot;
            }
        }
        cout<<ans<<"
";
    }
    return 0;
}

UPD.16/4/6

【思路】

　　用字符串A构造SAM，在SAM上匹配第二个字符串B，设当前匹配长度为len，且位于状态p，则当前状态中满足条件长度不小于K的公共子串的字符串个数为

　　　　sum = len-max{ K,Min(p) }+1

　　SAM中一个状态代表的字符串长度为一个连续区间[ Min(s),Max(s) ]，Min(s)为最小长度。

　　这些字符串重复的次数为|right|，即right集的大小，可以递推得到，则当前状态对于答案的贡献为sum*|right|

　　这时候匹配的是p，还应该统计parent树中p->root的路径上的状态中满足条件的个数。

　　这里设一个懒标记tag[x]，记录节点x需要统计的次数，最后算一遍，每次如果Max(p->fa) >= K则上传标记。

　　需要注意的是可能出现大写字符 =_=

　　相比较而言SAM的做法更好想一些。 

【代码】

#include<set>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define trav(u,i) for(int i=front[u];i;i=e[i].nxt)
#define FOR(a,b,c) for(int a=(b);a<=(c);a++)
#define rep(a,b,c) for(int a=(b);a>=(c);a--)
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N = 2e5+10;

int K;
char A[N],B[N];

int get(char c)
{
    if(c>='a'&&c<='z') return c-'a';
    else return c-'A'+26;
}

struct SAM 
{
    int sz,last;
    int ch[N][60],fa[N],l[N],c[N],b[N],tag[N];
    int siz[N]; ll ans;

    void init() {
        sz=0; last=++sz;
        memset(l,0,sizeof(l));
        memset(siz,0,sizeof(siz));
        memset(fa,0,sizeof(fa));
        memset(ch,0,sizeof(ch));
        memset(c,0,sizeof(c));
        memset(tag,0,sizeof(tag));
    }
    void Add(int c) {
        int np=++sz,p=last; last=np;
        l[np]=l[p]+1; siz[np]=1;
        for(;p&&!ch[p][c];p=fa[p]) ch[p][c]=np;
        if(!p) fa[np]=1;
        else {
            int q=ch[p][c];
            if(l[q]==l[p]+1) fa[np]=q;
            else {
                int nq=++sz; l[nq]=l[p]+1;
                memcpy(ch[nq],ch[q],sizeof(ch[q]));
                fa[nq]=fa[q];
                fa[np]=fa[q]=nq;
                for(;ch[p][c]==q;p=fa[p]) ch[p][c]=nq;
            }
        }
    }
    void get_right() {
        FOR(i,1,sz) c[l[i]]++;
        FOR(i,1,last) c[i]+=c[i-1];
        FOR(i,1,sz) b[c[l[i]]--]=i;
        rep(i,sz,1) siz[fa[b[i]]]+=siz[b[i]];
    }
    ll solve(char* s) {
        int len=0,p=1;
        ans=0;
        for(int i=0;s[i];i++) {
            int c=get(s[i]);
            if(ch[p][c]) {
                len++; p=ch[p][c];
            } else {
                while(p&&!ch[p][c]) p=fa[p];
                if(!p) {
                    p=1; len=0;
                } else {
                    len=l[p]+1; p=ch[p][c];
                }
            }
            if(len>=K) {
                ans+=(ll)(len-max(K,l[fa[p]]+1)+1)*siz[p];
                if(l[fa[p]]>=K) tag[fa[p]]++;
            }
        }
        rep(j,sz,1) {
            int i=b[j];
            ans+=(ll)tag[i]*(l[i]-max(K,l[fa[i]]+1)+1)*siz[i];
            if(l[fa[i]]>=K) tag[fa[i]]+=tag[i];
        }
        return ans;
    }
    
}sam;

int main()
{
    while(scanf("%d",&K)==1 && K) {
        scanf("%s%s",A,B);
        sam.init();
        for(int i=0;A[i];i++)
            sam.Add(get(A[i]));
        sam.get_right();
        printf("%lld
",sam.solve(B));
    }
    return 0;
}