三分查找求极值

转自：https://blog.csdn.net/littlewhite520/article/details/70144763

我们都知道 二分查找 适用于单调函数中逼近求解某点的值。
如果遇到凸性或凹形函数时，可以用三分查找求那个凸点或凹点。
下面的方法应该是三分查找的一个变形。

如图所示，已知左右端点L、R，要求找到白点的位置。
思路：通过不断缩小 [L,R] 的范围，无限逼近白点。
做法：先取 [L,R] 的中点 mid，再取 [mid,R] 的中点 mmid，通过比较 f(mid) 与 f(mmid) 的大小来缩小范围。
当最后 L=R-1 时，再比较下这两个点的值，我们就找到了答案。
1、当 f(mid) > f(mmid) 的时候，我们可以断定 mmid 一定在白点的右边。
反证法：假设 mmid 在白点的左边，则 mid 也一定在白点的左边，又由 f(mid) > f(mmid) 可推出 mmid < mid，与已知矛盾，故假设不成立。
所以，此时可以将 R = mmid 来缩小范围。
2、当 f(mid) < f(mmid) 的时候，我们可以断定 mid 一定在白点的左边。
反证法：假设 mid 在白点的右边，则 mmid 也一定在白点的右边，又由 f(mid) < f(mmid) 可推出 mid > mmid，与已知矛盾，故假设不成立。
同理，此时可以将 L = mid 来缩小范围。

这是先增再减的模型 凸型
两种写法

int SanFen(int l,int r) //找凸点  
{  
    while(l < r-1)  
    {  
        int mid  = (l+r)/2;  
        int mmid = (mid+r)/2;  
        if( f(mid) > f(mmid) )  
            r = mmid;  
        else  
            l = mid;  
    }  
    return f(l) > f(r) ? l : r;  
}  

double three_devide(double low,double up)  
{  
    double m1,m2;  
    while(up-low>=eps)  
    {  
        m1=low+(up-low)/3;  
        m2=up-(up-low)/3;  
        if(f(m1)<=f(m2))  
            low=m1;  
        else  
            up=m2;  
    }  
    return (m1+m2)/2;  
}  

后面是先减再增 下凸
和上面反着来

int SanFen(int l,int r) //找凸点  
{  
    while(l < r-1)  
    {  
        int mid  = (l+r)/2;  
        int mmid = (mid+r)/2;  
        if( f(mid) > f(mmid) )  
            l = mid;  
        else  
            r = mmid;  
    }  
    return f(l) > f(r) ? l : r;  
}  

double three_devide(double low,double up)  
{  
    double m1,m2;  
    while(up-low>=eps)  
    {  
        m1=low+(up-low)/3;  
        m2=up-(up-low)/3;  
        if(f(m1)<=f(m2))  
            up=m2;  
        else  
            low=m1;  
    }  
    return (m1+m2)/2;  
}