ACM数论之旅12---康托展开（(*ﾟ▽ﾟ*)装甲展开，主推进器启动，倒计时3,2,1......）

在我们做题中，搜索也好，动态规划也好，我们往往有时候需要用一个数字表示一种状态

比如有8个灯泡排成一排，如果你用0和1表示灯泡的发光情况

那么一排灯泡就可以转换为一个二进制数字了

比如

01100110 = 102

11110000 = 240

10101010 = 170

通过这些十进制数，只要把他们展开，我们就知道灯泡的状态了

如果这题是一个动态规划题

然后我们就拿这些数字做一些转移了，

比如dp[102],dp[240],dp[170]等等

这对题目很有帮助

上面讲的那些就是所谓的状态压缩了，须知详细的状态压缩可以去百度

或者有机会我自己去写一篇博客（这是flag（/TДT)/）

那对于有些题，我们即使状态压缩后，数字太大，数组都开不下，麻烦的题目（/TДT)/

这些题目也要看情况，比如我接下来要讲的康托展开

康托展开经典题：hdu 1430

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1430

在魔方风靡全球之后不久，Rubik先生发明了它的简化版——魔板。魔板由8个同样大小的方块组成，每个方块颜色均不相同，可用数字1-8分别表示。任一时刻魔板的状态可用方块的颜色序列表示：从魔板的左上角开始，按顺时针方向依次写下各方块的颜色代号，所得到的数字序列即可表示此时魔板的状态。例如，序列(1,2,3,4,5,6,7,8)表示魔板状态为：

1 2 3 4
8 7 6 5

对于魔板，可施加三种不同的操作，具体操作方法如下：

A: 上下两行互换,如上图可变换为状态87654321
B: 每行同时循环右移一格,如上图可变换为41236785
C: 中间4个方块顺时针旋转一格,如上图可变换为17245368

给你魔板的初始状态与目标状态，请给出由初态到目态变换数最少的变换步骤，若有多种变换方案则取字典序最小的那种。

Input

每组测试数据包括两行，分别代表魔板的初态与目态。

 

Output

对每组测试数据输出满足题意的变换步骤。

 

Sample Input

12345678

17245368

12345678

82754631

 

Sample Output

C

AC

我们看这题，总共有8个数字，1~8，假如我们把他们看成0~7

那么每个数字可以转换为一个3位二进制

0:000

1:001

2:010

3:011

4:100

5:101

6:110

7:111

然后12345678这个状态我们可以表示为二进制000001010011100101110111，总共3*8=24位，

2^24 = 16777216，数组根本开不下啊

这时，我们发现了，有一些状态，根本没有用到，因为这题已经规定了有8个数字，每个数字只出现一次

比如000000000000000000000000这个状态，你说可能出现吗？(o ° ω ° O )

这个时候，康托就对这种题目做了研究(o ° ω ° O )

这种每个数字只出现一次的问题的所以情况，总共才n!个情况（这个问题叫做全排列）

康托的一套算法可以正好产生n!个数字

比如：

123  ->  0

132  ->  1

213  ->  2

231  ->  3

312  ->  4

321  ->  5

这是如何做到的(/≥▽≤/)

在峰神的博客里面有很好的解释（对不起了峰神≖‿≖✧，拿过来抄一下）

(/≥▽≤/)好神奇

于是乎，康托展开模板：

void cantor(int s[], LL num, int k){//康托展开，把一个数字num展开成一个数组s，k是数组长度
    int t;
    bool h[k];//0到k-1，表示是否出现过 
    memset(h, 0, sizeof(h)); 
    for(int i = 0; i < k; i ++){
        t = num / fac[k-i-1];
        num = num % fac[k-i-1];
        for(int j = 0, pos = 0; ; j ++, pos ++){
            if(h[pos]) j --;
            if(j == t){
                h[pos] = true;
                s[i] = pos + 1;
                break;
            }
        }
    }
}
void inv_cantor(int s[], LL &num, int k){//康托逆展开，把一个数组s换算成一个数字num 
    int cnt;
    num = 0;
    for(int i = 0; i < k; i ++){
        cnt = 0;
        for(int j = i + 1; j < k; j ++){
            if(s[i] > s[j]) cnt ++;//判断几个数小于它
        }
        num += fac[k-i-1] * cnt;
    }
}

付上AC代码：

（这代码我在杭电上用c++交竟然CE了，g++就没问题，CE的内容是我的那个模板，说什么不能bool h[k]这样声明类型，c++小心眼，这有什么关系嘛(´・ω・)ﾉ，我还只是个孩子）

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std; 
typedef long long LL;
const int N = 8;
queue <LL> que;
string ans[50000];
char str1[10], str2[10];
bool vis[50000];

int map[10];//映射
int num[10];
 
LL fac[N];//阶乘
void change(int s[], int o){//o分别是0,1,2，表示ABC三种变化
    switch(o){
        case 0:
            for(int i = 0; i < 4; i ++) swap(s[i], s[8-i-1]);
            break;
        case 1:
            for(int i = 3; i >= 1; i --) swap(s[i], s[i-1]);
            for(int i = 4; i < 7; i ++) swap(s[i], s[i+1]);
            break;
        case 2:
            swap(s[1], s[6]);
            swap(s[6], s[5]);
            swap(s[5], s[2]);    
            break;
    } 
} 
void cantor(int s[], LL num, int k){//康托展开，把一个数字num展开成一个数组s，k是数组长度
    int t;
    bool h[k];//0到k-1，表示是否出现过 
    memset(h, 0, sizeof(h)); 
    for(int i = 0; i < k; i ++){
        t = num / fac[k-i-1];
        num = num % fac[k-i-1];
        for(int j = 0, pos = 0; ; j ++, pos ++){
            if(h[pos]) j --;
            if(j == t){
                h[pos] = true;
                s[i] = pos + 1;
                break;
            }
        }
    }
}
void inv_cantor(int s[], LL &num, int k){//康托逆展开，把一个数组s换算成一个数字num 
    int cnt;
    num = 0;
    for(int i = 0; i < k; i ++){
        cnt = 0;
        for(int j = i + 1; j < k; j ++){
            if(s[i] > s[j]) cnt ++;//判断几个数小于它
        }
        num += fac[k-i-1] * cnt;
    }
}
void init(){
    fac[0] = 1;
    for(int i = 1; i < N; i ++) fac[i] = fac[i-1] * i;
    int a[8], b[8];
    LL temp, temp2;
    que.push(0);
    vis[0] = true;
    while(!que.empty()){
        LL temp = que.front(); que.pop();
        cantor(a, temp, 8);
        for(int i = 0; i < 3; i ++){
            copy(a, a+8, b);
            change(b, i);
            inv_cantor(b, temp2, 8);
            if(!vis[temp2]){
                que.push(temp2);
                vis[temp2] = true;
                ans[temp2] = ans[temp] + (char)('A' + i);
            }
        }
    }
}
int main(){
    init();
    while(~scanf("%s", str1)){
        scanf("%s", str2);
        //先把所有初始状态都转换成12345678
        //最终状态根据初始状态的转换而转换 
        //这样只要一次预处理就可以解决问题了 
        for(int i = 0; i < 8; i ++) map[str1[i] - '0'] = i + 1;
        for(int i = 0; i < 8; i ++) num[i] = map[str2[i] - '0'];
        LL temp;
        inv_cantor(num, temp, 8);
        cout << ans[temp] << endl;
    }
}

宇宙我来啦~(≧▽≦)/~