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  • 概率题

    题目1

    (2014腾讯笔试题)

    36辆车,6个跑道,最少轮数决出前3名。

    分析

    分6组,每组跑一次,进行排序。

    然后每组第一快的人再跑一遍,确定最快的3组。

    最后最快的第一组取3个人,第二快的人取2个人(因为最快的人一定在最快的第一组),第三快的人取1个人。共6个人。再跑一遍。

    所以总共是6+1+1=8轮。

    以下转自:http://www.acmerblog.com/interviews-about-probability-5359.html


     题目2

    假设你参加了一个游戏节目,现在要从三个密封的箱子中选择一个。其中两个箱子是空的,另一个箱子里面有大奖(你偶像的签名^^)。你并不知道奖在哪一个箱子里,但主持人知道。游戏节目的主持人先要你选择一个箱子,接着他把你没有选的空箱子打开,以证明它是空的。最后主持人给你换箱子的机会,你可以把你所选择的箱子换成另一个没有打开的箱子。此时你该不该换箱子?

    分析:

    要相信直觉。你当然应该换箱子!我们把三个箱子编号A,B,C,并假设你选的是A箱。显然奖品在A里的概率是1/3,在B或C里的概率是2/3。B和C可能有一个是空的,也可能两个都是空的。因此,当你选择了A箱后,主持人很可能会打开B箱或C箱,以显示里面是空的。在这种情况下,主持人的举动并不会影响奖品在A箱里面的机会。我们假设主持人打开了B箱,以告诉你它是空的。现在A箱有奖品的概率还是1/3,B箱里面有奖品的概率是0,因此C箱里面有奖品的概率是2/3。在这种情况下,你应该换到C箱,因为它使你赢的机会提高了1倍!


     题目3

    有一苹果,两个人抛硬币来决定谁吃这个苹果,先抛到正面者吃。问先抛者吃到苹果的概率是多少?
    分析:

    我首先想到的就是把 第一次抛到正面的概率 + 第二次抛到的概率 + …..+无穷多次,当然后面的概率几乎为0了。 结果就是 P = 1/2 + 1/8 + 1/32+ …… 最后的结果就是 P = 2/3 . 这个计算也不难,其实就是等比数列,比为1/4. 简单的无穷级数 $(1/2) / (1-1/4) = 2/3. 1/(1-x)^2=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+… (-1<x<1)$


    题目4

    条长度为l的线段,随机在其上选2个点,将线段分为3段,问这3个子段能组成一个三角形的概率是多少?
    分析:

    设随机选取的两个数为x,y,并令y>x,则把长度为1的线段截得的三段长度为x, y-x ,1-y,根据三角形两边和大于第三边以及两边之差小于第三边的定理,可以列出方程组
    y>1-y; x<1-x; x+(1-y)>y-x;
    即x<1/2; y>1/2; y>x+1/2;
    画图可以算得概率为1/8;(线性规划的思想)


    题目5
    世界上每十万人中就有一人是艾滋病患者。艾滋病的检测目前已经很准确,但并非万无一失。它的检测准确率是99%,假设你刚去做完艾滋病检验,得到的了检测报告,结果….是阳性!你会绝望或昏倒吗?或者说,你会担心到什么程度?

    分析:

    你大可不必那么担心,因为你几乎可以确定没有得艾滋病。什么?检测是阳性还几乎可以确定没有艾滋病?!是的,为了说明这一点,假设有100万人和你做了同样的检验。在这100万人中,得病的会有10个,没有得病的有999990个。当这些人接受检验时,9~10个人患有艾滋病的人会呈现阳性反应,另外999990个没有得病的人则会有1%出现错误的阳性反应,换算成人数大概是1万人。也就是说,大约10000个阳性诊断中,实际只有10个左右是真正患者。因此,绝大多数所呈阳性的反应都是误诊。当你得到阳性的检测结果时,真正得艾滋病的机会大概只有千分之一。(当然,如果你在检测之前做了很可能感染艾滋病的事,那就另当别论了)


    题目5

    有一对夫妇,先后生了两个孩子,其中一个孩子是女孩,问另一个孩子是男孩的概率是多大?

    答案是2/3.两个孩子的性别有以下四种可能:(男男)(男女)(女男)(女女),其中一个是女孩,就排除了(男男),还剩三种情况。其中另一个是男孩的占了两种,2/3. 之所以答案不是1/2是因为女孩到底是第一个生的还是第二个生的是不确定的。


    题目6

    一个国家人们只想要男孩,每个家庭都会一直要孩子,只到他们得到一个男孩。如果生的是女孩,他们就会再生一个。如果生了男孩,就不再生了。那么,这个国家里男女比例如何?

    分析:

    一开始想当然的以为男多女少,毕竟都想要男孩。但是注意这句话“如果生了男孩,就不再生了”,一个家庭可能有多个女孩,只有一个男孩。再仔细分析,我们来计算期望值,只用计算一个家庭就行了。设一个家庭男孩个数的期望值为S1,女孩为S2.

    根据题目条件,男孩的个数期望值S1=1这个是不用计算了。主要计算S2

    一个家庭的孩子数量可以为:1,2,3,4,5….. 对应的的男女分布为: “男”,”女男”,”女女男”,”女女女男”,”女女女女男”…

    对应的概率分布为 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 。其中女孩的个数分别为 0,1,2,3,4……

    因此 S2=0*1/2 + 1*1/4 + 2*1/8 + 3*1/16 + 4*1/32 + ………

    可以按照题目2用级数求,也可以用错位相减法:S2=1/4+2/8+3/16+4/32+… 两边乘以2,得: 2*S2=1/2+2/4+3/8+4/16+5/32+..

    两个式子相减得 S2=1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+…=1. 所以期望值都为1,男女比例是一样的。


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