一、题目解析
注意一下\(m\)和\(n\)的录入顺序。
01背包模型
状态表示\(f(i,j)\)—集合: 考虑前 \(i\) 个物品,且当前已使用体积为$ j$ 的方案
状态表示\(f(i,j)\)—属性: 该方案的价值为最大值 \(max\)
状态转移\(f(i,j)\): \(f(i,j)=\begin{equation} \left\{ \begin{array}{lr} 不选第i个物品: max\{f(i-1,j)\} & \\ 选第i个物品: max\{f(i-1,j-v_i)+w_i\}\\ \end{array} \right. \end{equation}\)
初始状态:f[0][0]
目标状态:f[n][m]
集合划分
二、二维朴素作法
空间复杂度:\(O(n×m)\)
时间复杂度:\(O(n×m)\)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 110;
const int M = 1010;
int n, m;
int w[N], v[N];
int f[N][M];
int main() {
//input
cin >> m >> n;
for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> v[i] >> w[i];
//dp
for (int i = 1; i <= n; ++i)
for (int j = 0; j <= m; ++j) {
f[i][j] = f[i - 1][j];//不选
if (j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);//选
}
//output
cout << f[n][m] << endl;
return 0;
}
三、一维空间优化作法
空间复杂度:\(O(m)\)
时间复杂度:\(O(n×m)\)
观察到朴素版的代码里,每个阶段 \(i\) 的状态转移,只依靠 \(i-1\) 层的状态
因此我们可以通过 滚动数组 或者 代码等价变形 来优化掉后续不再使用的空间
滚动数组
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 110;
const int M = 1010;
int n, m;
int w[N], v[N];
int f[2][M]; //滚动数组优化
int main() {
//input
cin >> m >> n;
for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> v[i] >> w[i];
//&1 和 %2是一个意思
for (int i = 1; i <= n; ++i)
for (int j = 0; j <= m; ++j) {
f[i & 1][j] = f[i - 1 & 1][j];//不选
if (j >= v[i]) f[i & 1][j] = max(f[i & 1][j], f[i - 1 & 1][j - v[i]] + w[i]);//选
}
//output
cout << f[n & 1][m] << endl;
return 0;
}
代码等价变形(经典01背包优化方式)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N];
int main() {
//注意一下m和n的录入顺序
cin >> m >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];
//01背包模板
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = m; j >= v[i]; j--)
f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
printf("%d", f[m]);
return 0;
}