洛谷 P4999 烦人的数学作业

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这道题从下午一来就开始写，一直写到(4:00)，终于写完了，累死我辣，但是做出来的感觉还是很苏服的~。
本题思路：按位考虑+模拟
题目大意是很好理解的，就是算从l到r的所有数中每个数的每一位数字加起来的和。
如果你从(l)到(r)这样一个个枚举的话，就是暴力了，不知道有没有分……
思路分析：
既然是模拟的话，就需要对这个所求有深入的理解。

1. 可以把(l)到(r)的答案转化成(0～r)的答案减去(0～l-1)的答案。（一个类似前缀和的思想）
2. 下面只要考虑(0)到(x)的答案怎么求了，我在这里说一下我按位处理的过程，代码实现很简单：

• 对于一个数字(x)，我们定义它的位数是(tot)，每一位上的数字是(a[i])。
• 考虑最高位：在(0～x)的数中，最高位的数可以是(1~a[i])。
  • 其中(1～a[1]-1)出现了(10^{tot-1})次，因为可以默认最高位是(1～a[1]-1)中的某一个数，然后后面(tot-1)位可以任取(0～9)，一共是(10^{tot-1})个数(（0～999……）)，所以答案加上(sumlimits_{j=1}^{j<a[1]} j*(10^{tot-1}))。
  • (a[i])出现了(x-a[i]*10^{tot-1}+1)次（就是x去掉最高位剩下的数+1），就是默认以它为最高位的时候，后面(tot-1)位可以是(0)到(x-a[i]*10^{tot-1})，答案加上
    (a[i]*(x-a[i]*10^{tot-1}+1))
  • 举个例子：当(x=4321)的时候，最高位是(4),这一位对答案的贡献就是(1*1000+2*1000+3*1000+4*322)，分别对应(1000～1999,2000～2999,3000～3999,4000～4321)这些数最高位对答案的贡献。
• 考虑最低位：最低位的数可以是(1～9)。
  • 其中1～a[tot]这些数出现了(Large lfloorfrac{x}{10} floor)(+1)次（就是(x)去掉最低位剩下的数(+1)），(a[tot]+1～9)这些数出现了(Large lfloorfrac{x}{10} floor)次
  • 所以最后一位的贡献就是(sumlimits_{i=1}^{i<=a[tot]}i*()(Large lfloorfrac{x}{10} floor)(+1)+sumlimits_{i=a[tot]+1}^{i<=9}i*)(Large lfloorfrac{x}{10} floor)
  • 举个例子：(1234)中最低位的贡献就是(1*124+2*124+3*124+4*124+5*123+6*123+7*123+8*123+9*123)，分别对应(0001～1231，0002～1232，0003～1233，0004～1234，0005～1225，0006～1226，0007～1227，0008～1228，0009～1229)（这里的(～)是指前三位的变化，(0001～1231)指的是第四位是(1)，前三位是((000、001……123))的那些数）
• 剩下的其他位计算方法都一样：
  • 对于某一位(i)，它的答案分为三部分考虑：
    • 若这一位是(1～a[i]-1)，它的贡献为(x)的前(i-1)位所拼成的数加(1)再乘上(10^{tot-i})
    • 若这一位就是(a[i])，它的贡献就是(x)去掉(i)这一位后的数再(+1)
    • (a[i]+1～9)的部分，它的贡献就是(x)的前(i-1)位所拼成的数再乘上(10^{tot-i})
  • 举个例子：当(x=1234)时，我们考虑第二位和第三位的贡献：
    • (i=2)，(a[i]=2)
      • (1～a[i]-1)的数只有(1)，所以贡献为前(i-1)位，即(1)加上(1)再乘上(100)，贡献(200)，表示第1位为0或1第3、4位为(00～99)的时候的贡献。
      • (a[i]=2)，贡献是(x)剩下的位(134)再(+1)，贡献(135)，表示第1、3、4位为(000～134)时候的贡献。
      • (a[i]+1～9)的数是(3～9)，每一个数贡献是这个数乘以前(i-1)位，即(1)，再乘上(100)，贡献(300+400+500+600+700+800+900)，分别对应着第(1)位为(0)第(3、4)位为(00～99)的时候的贡献
    • (i=3)，(a[i]=3)
      • (1～a[i]-1)的数是(1、2)，所以贡献为前(i-1)位，即(12)加上(1)再乘上(10)，贡献(130)，表示第1、2位和起来为00～12，第4位为(0～9)的时候的贡献。
      • (a[i]=2)，贡献是(x)剩下的位(124)再(+1)，贡献(125)，表示第1、2、4位为(000～124)时候的贡献。
      • (a[i]+1～9)的数是(4～9)，每一个数贡献是这个数乘以前(i-1)位，即(12)，再乘上(10)，贡献(12*40+12*50+12*60+12*70+12*80+12*90)，分别对应着第(1、2)位为(0～11)，第(4)位为(0～9)的时候时贡献
        然后就没了
        码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn=110;
const LL mod=1e9+7;
LL cnt[maxn],a[maxn];
LL getcnt(LL i){
	LL ans=0;
	while(i){
		ans++;
		i/=10;
	}
	return ans;
}
LL mypow(LL a,LL b){
	LL ans=1;
	while(b){
		if(b&1)ans=ans*a%mod;
		a=a*a%mod;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}
LL shu(LL i){
	LL ans=0;
	LL tot=0;
	while(i){
		cnt[++tot]+=i%10;
		ans+=i%10;
		i/=10;
	}
	return ans;
}
LL suan(LL qian,LL hou,LL res1,LL resn,LL tot){
	LL ans=0,nowans=0;
	ans+=res1*(hou+1);
	for(int i=1;i<=9;i++){
		if(i<res1)nowans+=i;
		if(i<=resn)ans+=i*(qian+1);
		if(i>resn)ans+=i*qian;
	}
	ans+=nowans*mypow(10,tot-1);
	return ans;
}
LL clac(LL n){
	if(n==0)return 0;
	memset(a,0,sizeof(a));
	LL tot=getcnt(n);
	LL qian=0,hou=0,zhong=0,ans=0;
	for(int i=tot;i>=1;i--){
		a[i]=n%10;
		n/=10;
	}
	for(int i=1;i<=tot;i++){
		if(i>1)hou=(hou*10+a[i])%mod;
		if(i<tot)qian=(qian*10+a[i])%mod;
	}
	ans+=suan(qian,hou,a[1],a[tot],tot);
	for(int i=2;i<tot;i++){
		qian=0;hou=0;
		for(LL j=1;j<a[i];j++)qian+=j;
		for(LL j=a[i]+1;j<=9;j++)hou+=j;
		LL now=0;
		for(int j=1;j<=tot;j++)if(i!=j)now=(now*10+a[j])%mod;
		ans=(ans+a[i]*(now+1)%mod)%mod;
		now=0;
		for(int j=1;j<i;j++){
			now=(now*10+a[j])%mod;
		}
		ans=(ans+qian*(now+1)%mod*mypow(10,tot-i)%mod)%mod;
		ans=(ans+hou*now%mod*mypow(10,tot-i)%mod)%mod;
	}
	return ans;
}
LL n;
int main(){
	scanf("%lld",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		LL l,r;
		scanf("%lld%lld",&l,&r);
		printf("%lld
",(clac(r)-clac(l-1)+mod)%mod);
	}
	return 0;
}