codeforces 698B Fix a Tree

http://www.codeforces.com/problemset/problem/698/B

很不错的题目。不难但是需要一点思维和严谨。

一个n条边的有向图，每个点都只有一条出边，要求修改最少点数的出边，使得整个图变成一个有根树（根节点的出边指向自己）。方案任意。n<=200000

首先看这个图是什么样子的。

首先可能有好几个连通块。

对于每个连通块：有n个点n条边，所以把边看成无向边的话一定有一个环（自环或不是自环）。而且这个环一定是一个指向下一个，是一个强连通分量，

不可能出现图二那种情况。

这一个环上所有点的出度全都用上了，所以如果有其他点和它们连着的话，一定是指向这个环。

所以这是一颗基环内向树。如下图1

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 　　　　　　　　　　图1                                               图2

找环的工作用tarjan就好了。找到所有环之后，就要构造一棵树了。

我们的思路是先找到一个根，然后把所有其他连通块的环，易证需要且只需要取其中任意一个结点，将其指向根即可。

首先，如果有自环的话，随意取一个当作根即可（因为由构造方法可知取哪一个并不影响最终改变的出边的数量）。

否则，任取一个大环，任取其中一个结点作根即可，不过答案要加1.

再将其余连通块按方法构造即可。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <vector>
using namespace std;

const int N = 200010;
int tot,top,n,color;
int a[N],dfn[N],low[N],stack[N],c[N],size[N];
bool v[N],flag[N];
vector<int> cmem[N];

void tarjan(int x)
{
    low[x] = dfn[x] = ++tot;
    stack[++top] = x;
    v[x] = 1;
    int y = a[x];
    if(!dfn[y]) {
        tarjan(y);
        low[x] = min(low[x], low[y]);
    }
    else if(v[y])
        low[x] = min(low[x], dfn[y]);
        
    if(dfn[x]==low[x]) {
        color++;
        int temp;
        do {
            temp = stack[top--];
            c[temp] = color;
            v[temp] = 0;
            size[color]++;
            cmem[color].push_back(temp);
        } while(temp!=x);
    }
}

int main()
{
    int i,root = 0,ans = 0;
    cin >> n;
    for(i = 1; i<=n; i++) {
        scanf("%d", &a[i]);
    }
    for(i = 1; i<=n; i++)
        if(!dfn[i]) tarjan(i);
    for(i = 1; i<=n; i++) {
        int y = a[i];
        if(c[y]!=c[i])
            flag[c[i]] = 1;
    }
    for(i = 1; i<=color; i++)
        if(!flag[i]) {
            if(size[i]==1) root = cmem[i][0];
        }
    if(!root) {
        ans++;
        for(i = 1; i<=color; i++)
            if(!flag[i]) {
                root = cmem[i][0];
                a[cmem[i][0]] = cmem[i][0];
                break;
            }
    }
    for(i = 1; i<=color; i++)
        if(!flag[i] && cmem[i][0]!=root) {
            ans++;
            a[cmem[i][0]] = root;
        }
    printf("%d
", ans);
    for(i = 1; i<=n; i++)
        printf("%d ", a[i]);
    return 0;
}