BZOJ 1013: [JSOI2008]球形空间产生器sphere

BZOJ 1013: [JSOI2008]球形空间产生器sphere

Description

　　有一个球形空间产生器能够在n维空间中产生一个坚硬的球体。现在，你被困在了这个n维球体中，你只知道球
面上n+1个点的坐标，你需要以最快的速度确定这个n维球体的球心坐标，以便于摧毁这个球形空间产生器。

Input

　　第一行是一个整数n(1<=N=10)。接下来的n+1行，每行有n个实数，表示球面上一点的n维坐标。每一个实数精确到小数点
后6位，且其绝对值都不超过20000。

Output

　　有且只有一行，依次给出球心的n维坐标（n个实数），两个实数之间用一个空格隔开。每个实数精确到小数点
后3位。数据保证有解。你的答案必须和标准输出一模一样才能够得分。

Sample Input

2
0.0 0.0
-1.0 1.0
1.0 0.0

Sample Output

0.500 1.500

HINT

　　提示：给出两个定义：1、 球心：到球面上任意一点距离都相等的点。2、 距离：设两个n为空间上的点A, B
的坐标为(a1, a2, …, an), (b1, b2, …, bn)，则AB的距离定义为：dist = sqrt( (a1-b1)^2 + (a2-b2)^2 +
… + (an-bn)^2 )

SourceDescription

　　有一个球形空间产生器能够在n维空间中产生一个坚硬的球体。现在，你被困在了这个n维球体中，你只知道球
面上n+1个点的坐标，你需要以最快的速度确定这个n维球体的球心坐标，以便于摧毁这个球形空间产生器。

Input

　　第一行是一个整数n(1<=N=10)。接下来的n+1行，每行有n个实数，表示球面上一点的n维坐标。每一个实数精确到小数点
后6位，且其绝对值都不超过20000。

Output

　　有且只有一行，依次给出球心的n维坐标（n个实数），两个实数之间用一个空格隔开。每个实数精确到小数点
后3位。数据保证有解。你的答案必须和标准输出一模一样才能够得分。

Sample Input

2
0.0 0.0
-1.0 1.0
1.0 0.0

Sample Output

0.500 1.500

HINT

　　提示：给出两个定义：1、 球心：到球面上任意一点距离都相等的点。2、 距离：设两个n为空间上的点A, B
的坐标为(a1, a2, …, an), (b1, b2, …, bn)，则AB的距离定义为：dist = sqrt( (a1-b1)^2 + (a2-b2)^2 +
… + (an-bn)^2 )

Source

Solution

显然是高斯消元了(第一次打，以前只知道是写线性方程的)
设圆心为(O(x,y,...,z))，有n+1个点，既有n+1的方程。
两个点(p_1(a,b,...,c),p_2(a_1,b_1,...c_1))
有形如:(2(a-a_1)x+2(b-b_1)y+...+2(c-c_1)z=a^2-a_1^2+b^2-b_1^2+...+c^2-c_1^2)
的方程。

Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<algorithm>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define rep(i,x) for(int i=head[x];i;i=e[i].next)
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
typedef long long LL;
typedef double DB;
using namespace std;
template <typename T> inline T read(T &a) {
	T x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9') f=(ch=='-')?-1:f,ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+(ch-'0'),ch=getchar();a=f*x;
}
const double eps=1e-6;
int n;
DB f[21],a[21][21];
DB sqr(DB x) {return x*x;}
bool gauss() {
	int now=1,to;
	DB t;
	fo(i,1,n) {
		for(to=now;to<=n;to++) if(fabs(a[to][i])>eps) break;
		if(to>n) continue;
		if(to!=now) fo(j,1,n+1) swap(a[to][j],a[now][j]);
		t=a[now][i];
		fo(j,1,n+1) a[now][j]/=t;
		fo(j,1,n) if(j!=now) {
			t=a[j][i];
			fo(k,1,n+1) a[j][k]-=t*a[now][k];
		}
		now++;
	}
	fo(i,now,n) if(fabs(a[i][n+1]>eps)) return 0;
	return 1;
}
int main() {
	read(n);
	fo(i,1,n) scanf("%lf",&f[i]);
	fo(i,1,n) fo(j,1,n) {
		DB t;
		scanf("%lf",&t);
		a[i][j]=2*(t-f[j]),a[i][n+1]+=sqr(t)-sqr(f[j]);
	}
	gauss();
	fo(i,1,n-1) printf("%.3lf ",a[i][n+1]);
	printf("%.3lf
",a[n][n+1]);
	return 0;
}