木题大战Vol.0 DP搬运工1
题目描述
给你 (n),(K)，求有多少个 (1) 到 (n) 的排列，满足相邻两个数的 (max) 的和不超过 (K) 。
分析
预设型(DP)
我们定义状态 (f[i][j][k]) 表示填完 $1∼i (、有 j) $个位置可以填数、贡献总和为 (k) 的方案数
我们假定从小到大填数，对于一个数 (x) ，如果我们在之后的操作中在这一个数的两边都填入了新的数，那么当前的数一定不会贡献价值
如果只在一边填入新的数，那么当前的数贡献的价值为 (x)
如果两边都不填入数，那么贡献的价值为 (2x)
如果新填入的点在数列两边的话，转移方程为
[f[i][j+1][k]=(f[i][j+1][k]+f[i-1][j][k]*2LL)
]
[f[i][j][k+i]=(f[i][j][k+i]+f[i-1][j][k]*2LL)
]
如果新填入的数在中间的话，转移方程为
[f[i][j+1][k]=(f[i][j+1][k]+f[i-1][j][k]*j)
]
[f[i][j][k+i]=(f[i][j][k+i]+f[i-1][j][k]*j*2LL)
]
[f[i][j-1][k+i+i]=(f[i][j-1][k+i+i]+f[i-1][j][k]*j)
]
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=55;
const long long mod=998244353;
long long f[3][maxn][maxn*maxn];
int n,m;
inline int read(){
int x=0,f=1;
char ch=getchar();
while(ch<'0' || ch>'9'){
if(ch=='-') f=-1;
ch=getchar();
}
while(ch>='0' && ch<='9'){
x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
ch=getchar();
}
return x*f;
}
int main(){
freopen("D.in","r",stdin);
freopen("D.out","w",stdout);
n=read(),m=read();
f[1][0][0]=1;
int now=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
now^=1;
for(int j=0;j<maxn;j++){
for(int k=0;k<maxn*maxn;k++){
f[now][j][k]=0;
}
}
int maxj=min(i,n-i)+1,maxk=min(m,i*i);
for(int j=0;j<=maxj;j++){
for(int k=0;k<=maxk;k++){
if(f[now^1][j][k]==0) continue;
f[now][j+1][k]=(f[now][j+1][k]+f[now^1][j][k]*2LL)%mod;
f[now][j][k+i]=(f[now][j][k+i]+f[now^1][j][k]*2LL)%mod;
if(j==0) continue;
f[now][j+1][k]=(f[now][j+1][k]+f[now^1][j][k]*j)%mod;
f[now][j][k+i]=(f[now][j][k+i]+f[now^1][j][k]*j*2LL)%mod;
f[now][j-1][k+i+i]=(f[now][j-1][k+i+i]+f[now^1][j][k]*j)%mod;
}
}
}
long long ans=0;
for(int i=0;i<=m;i++){
ans=(ans+f[now][0][i])%mod;
}
printf("%lld
",ans);
return 0;
}