NYOJ 105

九的余数

时间限制：3000 ms  |  内存限制：65535 KB

难度：3

描述

现在给你一个自然数n，它的位数小于等于一百万，现在你要做的就是求出这个数整除九之后的余数。 

输入

第一行有一个整数m(1<=m<=8),表示有m组测试数据；
随后m行每行有一个自然数n。

输出

输出n整除九之后的余数，每次输出占一行。

样例输入

3
4
5
465456541

样例输出

4
5
4

解答：

　　首先本题的思路首先可以发现如果直接取余是不可行的，因为后面的数有几百万位的，纵使long double 也远远不够。这时候就需要考虑如何解决“大数对9取余”这个问题。我们发现，a=a_n*10ⁿ+a_n-1*10^n-1+...+a₂*10²+a₁*10¹+a₀ .    a%9 = (a_n*10ⁿ+a_n-1*10^n-1+...+a₂*10²+a₁*10¹ )%9 = (a_n*10ⁿ)%9+(a_n-1*10^n-1)%9...+(a₂*10²)%9+(a₁*10¹)%9 + a₀%9 = (a_n%9)*(10ⁿ%9) +(a_n-1%9)*(10^n-1%9)+...+(a₂%9)*(10²%9)+(a₁%9)*(10¹%9).+a₀%9  =  (a_n%9)*1 +(a_n-1%9)*1+......+(a₂%9)*1+(a₁%9)*1+a₀%9  =   (a_n+a_n-1+...+a₂+a₁+a₀)%9.

即“这个数的各个位上的数字的和”对9取余即得结果。

首先代码如下：

 
#include <iostream>
#include <stdlib.h>
using namespace std;

int main(){
    int m;
    cin>>m;
    while(m--){
        string n;cin>>n;
        int res = 0;
        while(n.length()!=0){
            string temp = n.substr(0,1);
            res    += atoi( temp.c_str() );
            n = n.substr( 1,n.length()-1 );
        }        
    
        cout<<res%9<<endl;
    }
    
}         

结果是TimeLimitExceeded 。

遂改进，得如下代码：

#include<iostream>
#include<vector>
#include<string>
#include<cstring>

using namespace std;

vector<int>a;
int DIV(string m)//分切数并存储
{ 
    int num=m.size();//存储数的长度
    for(int i=0;i<num;i++){
        a.push_back(m[i]-'0');
    }
    return num;
}

int main(){
    int M;
    cin>>M;
    while(M--){
        string n;//存储输入的数
        cin>>n;
        long num=DIV(n);
        long sum=0;
        
        for(int i=0;i<num;i++){
            sum+=a[i];
        }
        cout<<sum%9<<endl;
        a.clear();
    }
    return 0;
}

终AC，可以发现，对于string的substr()操作是比较费时的，甚至比压入vector的时间还长。这是优化代码的一个方向。