Bzoj 3170[Tjoi 2013]松鼠聚会曼哈顿距离与切比雪夫距离

3170: [Tjoi 2013]松鼠聚会

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Description

有N个小松鼠，它们的家用一个点x,y表示，两个点的距离定义为：点(x,y)和它周围的8个点即上下左右四个点和对角的四个点，距离为1。现在N个松鼠要走到一个松鼠家去，求走过的最短距离。

Input

第一行给出数字N，表示有多少只小松鼠。0<=N<=10^5
下面N行，每行给出x,y表示其家的坐标。
-10^9<=x,y<=10^9

Output

表示为了聚会走的路程和最小为多少。

Sample Input

6
-4 -1
-1 -2
2 -4
0 2
0 3
5 -2

Sample Output

　　这道题貌似纯考小知识点吧……

　　不得不说做这道题挺长姿势的，科普一下：欧几里德距离，曼哈顿距离，切比雪夫距离（在这里博主不介绍在数学其他方面的定义，用途）。

　　　　欧几里德距离：两点间的直线距离。（sqrt((x1-x2)^2+(y1-y2)^2)）

　　　　曼哈顿距离（出租车几何）：两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和。（|x1-x2|+|y1-y2|）。

　　　　切比雪夫距离（棋盘距离）：在国际象棋中国王到其他点的距离。（max(|x1-x2|,|y1-y2|)）。

　　这三个距离各有各的用处，这道题主要涉及的是曼哈顿距离和切比雪夫距离的转化。

　　首先先明确一点，松鼠家之间的距离是切比雪夫距离，即我们先斜着走，在横着或竖着走，显而易见是最快的。

　　但是，这样我们只能写出n^2打法，过这道题还是不太可能。因此，我们需要一个神奇的东西：切比雪夫距离转曼哈顿距离。

　　　　设两个点为(x1,y1)(x2,y2)把两个点换成(x1+y1,x1-y1)(x2+y2,x2-y2)他们的曼哈顿距离除二就是(x1,y1)(x2,y2)的切比雪夫距离。

　　剩下的，我们利用前缀和就可以做到了。

　　至于证明，网上很多。

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdlib>
 3 #include <cstdio>
 4 #include <cstring>
 5 #include <string>
 6 #include <queue>
 7 #include <algorithm>
 8 #include <cmath>
 9 #include <map>
10 #define N 100005
11 using namespace std;
12 int n;
13 struct no
14 {
15     long long x,y,bh;
16 }node[N];
17 long long ans[N],sumx[N],sumy[N];
18 bool px1(no a,no b)
19 {
20     if(a.x==b.x)return a.y<b.y;
21     return a.x<b.x;  
22 }
23 bool px2(no a,no b)
24 {
25     if(a.y==b.y)return a.x<b.x;
26     return a.y<b.y;
27 }
28 int main()
29 {
30     scanf("%d",&n);
31     for(int i=1;i<=n;i++)
32     {
33         int x,y;
34         scanf("%d%d",&x,&y);
35         node[i].x=x+y,node[i].y=x-y;
36         node[i].bh=i;
37     }
38     sort(node+1,node+1+n,px1);
39     for(int i=1;i<=n;i++) sumx[i]=node[i].x+sumx[i-1];
40  
41     for(long long i=1;i<=n;i++)
42     {   
43         ans[node[i].bh]+=i*node[i].x-sumx[i]+sumx[n]-sumx[i]-(n-i)*node[i].x;
44     }
45     sort(node+1,node+1+n,px2);
46     for(int i=1;i<=n;i++)sumy[i]=node[i].y+sumy[i-1];
47     for(long long i=1;i<=n;i++)
48     {
49         ans[node[i].bh]+=i*node[i].y-sumy[i]+sumy[n]-sumy[i]-(n-i)*node[i].y;
50          
51     }
52          
53     long long an=1000000000ll*1000000000ll;
54     for(int i=1;i<=n;i++)
55     {
56         if(ans[i]/2<an)an=ans[i]/2;
57     }
58     printf("%lld
",an);
59     return 0;
60 }

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