LIS&LCS
最长上升子序列（LIS）
POJ2533
题意显然。
子序列：序列({a_n})，则其一个子序列是存在一些数(j_x)，使得(1le j_1<j_2<...le n)，构成子序列({a_j})
题解
( ext{O}(n^2))
设(f_i)表示以(a_i)结尾的上升子序列最长为多少。初始化显然每个(f都为1)。我们从(1)~(i-1)枚举(f_j)，当(a_j<a_i)时，(f_i=max(f_i,f_j+1))
最后我们输出最大的(f_i)即可。
(O(nlog n))
设原数组为(a_n)，设(f_i)表示长度为(i)的序列中最长上升的最小值（他是原数组的数值）
如果a[i]>dp[len],len表示当前LIS最长长度,就直接放入末尾
否则，在dp数组中寻找第一个大于等于a[i]的位置，把他替换成a[i]，这样的话dp[len]的数值变得稍小，可以更好地在后面接上升序列
for(int i=1; i<=n; i++){
if(a[i]>dp[len]) dp[++len]=a[i];
else{
dp[lower_bound(dp+1,dp+1+len,a[i])-dp]=a[i];
}
}
最长公共子序列（LCS）
01背包（一些优化）
空间复杂度优化
二维的01背包很好写。时间复杂度和空间复杂度均为(O(NV))，而空间复杂度则可以优化到(O(V))。
我们考虑二维数组(F(i,0...V))优化到(F(0...V))，我们一定会需要一个主循环i-->N，而我们考虑，(F(i,v))是由(F(i-1,v))和(F(i-1,v-C_i))两个子问题递推而来，能否保证在推(F(i,v))时（也就是在第(i)次主循环时）能够取用(F(i-1,v),F(i-1,v-C_i))的值？事实上，这要求在每次主循环中我们以(v=V...0)的递减顺序计算(F(v))，这样才能保证(F(v))时(F(v-C_i))保存的是状态(F(i-1,v-C_i))的值。
for i=1 to N
for v=V to C[i]
F[v]=max{F[v],F[v-C[i]]+W[i]};
其中的最后一句，对应原来的转移方程，因为现在的(F(v-C_i))就相当于原来的(F(i-1,v-C_i))，如果改成顺序，就变成由(F(i,v))由(F(i,v-C_i))推导得到。
恰好装满
仅仅是在初始化的时候，普通的背包都初始化为0，而恰好装满要初始化为(-∞).
常数优化
第二重循环的下限可以改进。它可以被优化为：
for(int (v=V) to (max(sumlimits_i^NW_i,C_i)) ）
完全背包（一些优化）
一个简单有效的优化
根据性价比去掉某些物品。总的来说，(C_ile C_j,W_ige W_j)，此时就可以去掉(j)物品。这个优化可以(O(N^2))解决。
另一种优化是：把(V_ige V)的物品山区，然后利用类似计数排序的原理，计算出相同费用中价值最高的是哪个，可以(O(V+N))完成优化。
转化成01背包
考虑到第(i)种物品最多选(lfloordfrac{V}{C_i}
floor),于是可以把第(i)种物品转化为(lfloordfrac{V}{C_i}
floor)件费用和价值均不变的01背包。这个做法丝毫没有改进时间复杂度，但是指明了转化的思路。
另一种更高效的转化方法是：把第(i)种物品拆分成费用为(C_i2^k)，价值为(W_i2^k)的若干件物品，其中(kinleft[0,log_2left( dfrac{V}{C_i}
ight)
ight])，即(C_i2^kle V)的非负整数(k)。
这是二进制的思想，因为不管最优策略选几件第(i)种物品，其件数携程二进制后，总能表示称若干个(2^k)件物品的和，这样就把每种物品拆成(Oleft(logdfrac{V}{C_i}
ight))，是一个很大的改进。
(O(VN))的算法
F[0..V ] = 0
for i = 1 to N
for v = Ci to V
F[v] = max(F[v], F[v − Ci] + Wi)
你会发现，这个伪代码与01背包问题的伪代码只有v的循环次序不同而已。
为什么这个算法就可行呢？首先想想为什么01背包中要按照v递减的次序来循环。让v递减是为了保证第i次循环中的状态(F[i, v])是由状态(F[i − 1, v − C_i])递推而来。换句话说，这正是为了保证每件物品只选一次，保证在考虑“选入第i件物品”这件策略时，依据的是一个绝无已经选入第i件物品的子结果(F[i −1, v − C_i])。而现在完全背包的特点恰是每种物品可选无限件，所以在考虑“加选一件第i种物品”这种策略时，却正需要一个可能已选入第i种物品的子结果(F[i, v − C_i])，所以就可以并且必须采用v递增的顺序循环。这就是这个简单的程序为何成立的道理。
值得一提的是，上面的伪代码中两层for循环的次序可以颠倒。这个结论有可能会带来算法时间常数上的优化。
这个算法也可以由另外的思路得出。例如，将基本思路中求解(F[i, v − C_i])的状态转移方程显式地写出来，代入原方程中，会发现该方程可以等价地变形成这种形式：(F[i, v] = max(F[i − 1, v], F[i, v − C_i] + W_i))
将这个方程用一维数组实现，便得到了上面的伪代码。
最后抽象出处理一件完全背包类物品的过程伪代码：
def CompletePack(F, C, W)
for v = C to V
F[v] = max{F[v], f[v − C] + W}