20201016day37 刷题记录

1 [HAOI2008]圆上的整点

problem

给定(R)，求圆周(x^2+y^2=R^2)上整点的个数。整点的定义是点((a,b),a,binmathbb Z)

solution

[Y^2=(R+X)(R-X) ]

[egin{equation} Y=sqrt{(R+X)(R-X)} end{equation} ]

令(d=gcd (R+X,R-X))，则设

[egin{equation} A=dfrac{R-X}{d},B=dfrac{R+X}{d}end{equation} ]

(ecause d)为(R+X,R-X)的最大公约数，( herefore)必定存在(gcd(A,B)=1)，即(A⊥ B)
将((2))代入((1))得

[Y^2=d^2 imes A imes B ]

由于(d^2,Y^2)一定为完全平方数，则(A imes B)必定为一个完全平方数
又因为(A⊥B,A eq B)，则(A,B)本身都为一完全平方数
( herefore)设(A)的算术平方根为(a)，(B)的算术平方根为(b)，即(A=a^2,B=b^2)
由于(A eq B, herefore a eq b)，令(a<b)，代入((2))，得

[egin{equation} a^2=dfrac{R-X}{d}end{equation} ]

[egin{equation} b^2=dfrac{R+X}{d}end{equation} ]

((3)+(4))得：

[egin{equation}a^2+b^2=dfrac{2R}{d}end{equation} ]

由((5))观察可知:(2R=Td,Tin mathbb N_+)，即(d)为(2R)的一约数
而约数的个数确定，是基于分解质因数<对(Z)分解质因数个数最多为(sqrt{Z})>，则(1le dle sqrt{2R})
有了上面的推理，实现的方法为：
枚举(din left[1,sqrt{2R} ight])，然后根据上述推理可知：必先判断(d)是否是(2R)的一个约数

此时(d)为(2R)的约数有两种情况：(d=dfrac{2R}{d})或(d=d)。(如(d=d)就是(dle sqrt{2R})&&(dfrac{2R}{d}ge sqrt{2R})的情况 )

第一种情况：(d=dfrac{2R}{d})。枚举(a∈left[1,sqrt{dfrac{2R}{2d}} ight]) <由(2 imes a^2 < 2 imesdfrac{R}{d})转变来>，算出对应的(b=sqrt{dfrac{2R}{d}})，检查是否此时的(A,B)满足：(A≠B)且(A,B)互质 <根据上面的推理可知必需满足此条件>，若是就将答案加1

第二种情况：(d=d)。枚举(a∈left[ 1,sqrt{dfrac{d}{2}} ight])<由(2 imes a^2< d)转变来>，算出对应的(b=sqrt{d-a^2})，检查是否此时的(A,B)满足：(A≠B)且(A,B)互质 <根据上面的推理可知必需满足此条件>，若是就将答案加1

因为这样只算出了第一象限的情况<上面枚举时均是从1开始枚举>，根据圆的对称性，其他象限的整点数与第一象限中的整点数相同，最后，在象限轴上的4个整点未算，加上即可，那么最后答案为(ans=4 imes ext{第一象限整点数}+4)

【时间复杂度分析】枚举(d)：(O(sqrt(2R))),然后两次枚举a：O(sqrt(d/2))+O(sqrt(R/d))，求最大公约数：O(logN)

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL R,ans=0;
LL gcd(LL x,LL y){
    if(x%y==0) return y;
    else return gcd(y,x%y);
}
bool check(LL y,double x)
{
      if(x==floor(x))//判断整点
      {
            LL x1=(LL)floor(x);
            if(gcd(x1*x1,y*y)==1 && x1*x1!=y*y)//gcd(A,B)=1并且A!=B
                  return true;
      }
      return false;
}
int main()
{
      scanf("%lld",&R);
      for(LL d=1;d<=(LL)sqrt(2*R);d++)
      {
            if((2*R)%d==0)
            {
                  for(LL a=1;a<=(LL)sqrt(2*R/(2*d));a++)//2*a^2<2*r/d
                  {
                        double b=sqrt(((2*R)/d)-a*a);
                        if(check(a,b))
                              ans++;
                  }
                  if(d!=(2*R)/d)
                  {
                        for(LL a=1;a<=(LL)sqrt(d/2);a++)//2*a^2<d
                        {
                              double b=sqrt(d-a*a);
                              if(check(a,b))
                                    ans++;
                        }
                  }
            }
      }
      printf("%lld
",ans*4+4);
      return 0;
}

圆内整点