假期集训Day 3 #2020011700047-71

知识点目录

1 模拟

模拟是对真实事物或者过程的虚拟。模拟要表现出选定的物理系统或抽象系统的关键特性。模拟的关键问题包括有效信息的获取、关键特性和表现的选定、近似简化和假设的应用，以及模拟的重现度和有效性。可以认为仿真是一种重现系统外在表现的特殊的模拟。(来自百度百科)
顾名思义，模拟就是我们去用代码实现某种操作，他怎么说你就怎么做，他要求你做什么你就做什么。
模拟是竞赛中最基础的一项基本功，对思想难度要求不高，主要考察选手的代码能力

1 水仙花数

2020011700047

题意描述

输出所有的"水仙花数".所谓"水仙花数"是指这样的一个三位数：其各位数字的立方和等于该数本身。
例如：(371)是一个"水仙花数"，(371=3^3+7^3+1^3).

题解

对于一个三位数(x)
百位：(dfrac{x}{100})
十位：(dfrac{x}{10}mod10)
个位：(xmod 10)
判断这三个数的立方和是否为(x)即可

2 河伯阵型

2020011700048

题意描述

河伯最近在打一个叫魔兽争霸3的游戏，这个游戏可以控制兵推掉对面的老家，而这个游戏阵型很重要，河伯现在要排成一个菱形，所以请你帮河伯排一下阵型

输入

3 ^

输出

  ^
 ^^^
^^^^^
 ^^^
  ^

题解

？---？

3 USACO-1.1.2-Greedy Gift Givers

2020011700049

题意描述

一共有(n)个人要互相送礼物，每个人准备了一些钱来给自己想送的人买礼物。同一个人送出的礼物都是等价的，多余的钱会自己留下，求n个人送完礼物之后，每个人都赚了或者亏了多少钱。

题解

？---？

2 贪心

贪心算法是指在对问题求解时，总是做出在当前看来是最优的决策
换言之，就是不从全局最优方面考虑，只考虑局部最优情况
贪心算法有时可以得到全局的最优解，这取决于贪心的策略

一个正确贪心的例子

排队接水问题

有(N)个小朋友来接水，每个人接水要用(a_i)的时间，求最小的等待总时间。等待总时间是指所有小朋友的等待时间之和。显然这是一个小学奥数中的简单题。我们让接水时间短的人排在前面，时间长的人排在后面，可以证明这种方案是正确的。

一个错误贪心的例子

有(N)个小朋友，(M)块糖，给出一个二维数组，其中(a_{i,j})代表第(i)个小朋友获得(j)块糖之后的喜悦值，要求求出所有小朋友的喜悦值之和最大是多少
可以想到一种贪心方式是：对于每块糖，我们选择获得这块糖之后对答案贡献最大的小朋友，把糖分给它
反例：

2 3
1 100

所以我们可以得出，不是所有的情况都可以贪心，一般来说，当我们试图用贪心做法来解决一道题的时候，最好能先证明贪心的正确性，否则只靠猜测一般来说是不正确的。
下面几道例题并不全是可以贪心的。如果大家认为可以贪心，请说明你的贪心策略，最好能尝试证明贪心的正确性。

4 最大排列

2019011700050

题意描述

有一个长度为(N)的序列，每个元素互不相同，现在给你(K)次操作机会(可以不用完)，每次可以交换相邻两个数，求在这种条件下，你能交换出的字典序最大的序列是什么，(Nleq 5000).

题解

贪心可做√
由于要求字典序最大，也就是说我们的目标是：让第一个数尽可能大，在这个基础上让第二个数尽可能大…所以每次我们在可选的范围内找到一个最大的数，把他交换到前面，然后处理下一位即可。

5 运输

2020011700051

题意描述

黑板上N个正整数，给出一个正整数K每次你可以擦掉黑板上的两个数A,B，然后在黑板上写下(A+B)/K向下取整的值，直到只剩下一个数，问剩下的数最少是多少，N<=10000.

题解

贪心可做√
错误的贪心策略：从大到小依次擦掉。可以举出反例，所以我们在考场上应该多出几组数据来尝试卡掉自己的贪心策略
正确的贪心策略：每次选取最大的两个数擦掉

6 防御导弹[NOIP 1999]

2020011600052

题意描述

某国为了防御敌国的导弹袭击，发展出一种导弹拦截系统。但是这种导弹拦截 系统有一个缺陷：虽然它的第一发炮弹能够达到任意的高度，但是以后每一发炮弹都不能高于前一发的高度。某天，雷达捕捉到敌国的导弹来袭。已知敌国每颗导弹的高度，问：用一套系统最多能拦截多少导弹？如果要拦截所有导弹最少要配备多少套这种导弹拦截系统？

题解

第一问贪心不可做×
可以证明所有关于这道题的贪心做法都是错误的。都可以举出反例（最长不下降子序列LIS）
第二问贪心可做√
贪心策略：每个导弹能打就打

7 Cow Acrobats

2020011700053

题意描述

有(N)头牛，每头牛有体重和力量两个属性，他们要在一起叠罗汉，每头牛的危险值(=)它上面所有牛的体重之和(-)这头牛的力量，求所有牛的最大危险值最小是多少

题解

贪心可做√
贪心策略：把所有牛按照体重+力量从小到大排序，小的在上面
正确性证明：
对于一种排列方案，如果我们可以找到相邻的两头牛(i,j)((i)在上())使得交换它们的位置之后答案变小，则这种方案一定不是最优解
我们考虑不想出现这种情况需要满足什么，设体重为(a)，力量为(b)，上面所有牛的体重之和为(W)，则有：
(max(W-b_i,W+a_i-b_j)leq max(W-b_j,W+a_j-b_i))
化简之后得(a_i+b_ileq a_j+b_j)
也就是说，若不按照(a_i+b_i)从小到大进行排列则一定不是最优解
而按照(a_i+b_i)从小到大排列只有一种方案(相同的是等价的)，所以这就是最优解

3 二分

给你一个一次函数((y=kx+b))，求函数的零点
给你一个单调函数的解析式，例如(y=x^3+ln x+2^{x-10})，求函数的零点

二分法可以用来解决这一系列具有单调性质的题(不一定是求单调函数的零点)
其实在小学奥数中就用到了二分法，例如手动开根号，再比如猜数游戏
二分的具体过程就是先取一个中间值，判定一下正确答案在哪边，然后接着再二分，直到找到答案为止
二分相对于暴力枚举来讲，判定次数会显著变少，具体来说，如果暴力枚举期望是(O(N))次，那么二分只需要(O(log N))次就可以得出答案

怎么用代码实现？

while(r-l>eps)
{
	mid=(l+r)/2;
	if(f(mid)>0) r=mid;
	else l=mid;
}

while(l<r)
{
	mid=(l+r)/2;
	if(f(mid)>0) r=mid;
	else l=mid+1;
}

8 派

2020011700054

题意描述

我的生日要到了！根据习俗，我需要将一些派分给大家。我有(N)个不同口味、不同大小的派。有(F)个朋友会来参加我的派对，每个人会拿到一块派（必须一个派的一块，不能由几个派的小块拼成；可以是一整个派）。
我的朋友们都特别小气，如果有人拿到更大的一块，就会开始抱怨。因此所有人拿到的派是同样大小的（但不需要是同样形状的），虽然这样有些派会被浪费，但总比搞砸整个派对好。当然，我也要给自己留一块，而这一块也要和其他人的同样大小。
请问我们每个人拿到的派最大是多少？每个派都是一个高为(1)，半径不等的圆柱体。

题解

二分每个人拿到的派的大小
然后整体扫一遍(N)个派，由于每个人派的大小已知，那么每个初始的派能切成的块数就也能知道了
检验一下这些派够不够分，如果不够，说明每个人拿的派太大了，往小了二分，如果够，说明每个人可能还可以拿更多的派，往大了二分

9 最大值最小化

2020011700055

题意描述

把一个包含n个正整数的序列划分为(m)个连续的子序列(每个正整数恰好属于一个序列)。设第(i)个序列的各数之和为(S(i))，你的任务是让所有(S(i))的最大值尽量小。
例如序列(1,2,3,2,5,4)划分成(3)个序列的最优方案为(1,2,3|2,5|4)，其中(S(1))、(S(2))、(S(3))分别为(6,7,4)，最大值为(7)；如果划分成(1,2|3 ,2|5,4)，则最大值为(9)，不如刚才的好。
(nleq 10^6)，所有数之和不超过(10^9)。

题解

先二分一下最大值是多少
这个值是每一段总和的上限，然后贪心，只要总和在这个限度内就不断地往里添加后面的数，直到不能添加为止，那么这些数就组成了一段。扫完所有的数之后，看一看划分出了几段。
如果段数(>m)，说明这个最大值设得太小了，应该变大,(l=mid+1)；否则说明最大值还有可能变小，(r=mid)

10 排干水塘

2020011700056

题意描述

公园里有(n)个水塘，需要把这(n)个水塘中的水排干，水塘中的水在自然条件下(1)个单位的时间可以蒸发(A)升水。现在买了(1)台抽水机，使用抽水机可以让你用(1)个单位的时间使每个水塘除开自然蒸发的(A)升水外，还可抽(B)升水，但在(1)个单位的时间内只能对(1)个水塘使用。
要你求出排干所有水塘的最少时间（水塘中的水为(0)时为排干）。

题解

二分一下时间(T)
也就是说，你可以视为每个池塘先蒸发了(A imes T)升水，之后就不再蒸发，然后你开始使用抽水机
我们可以在(O(N))时间内算出用抽水机抽完剩下的水要花多少时间。如果时间(>T)，说明时间不够，(T)应该放大
否则说明时间可能更小

11 序列积第(n)小元素

2020011700057

题意描述

给出两个长度为(n)的正整数有序数组(A)和(B), 在(A)和(B)中各任取一个, 可以得到(n imes n)个积. 求第(n)小的元素。(nleq 100000)

题解

二分答案
判定有多少乘积小于这个答案就可以继续二分
但是怎么判定呢？
由于两个数组都是有序的，所以A数组中可行的乘积对应B数组一定是从头开始的一段序列，并且范围逐渐变小。这样我们(O(N))扫一遍，用一个指针维护一下(B)数组合法位置就可以了

三分法

给你一个一次函数((y=x^2+bx+c))，求函数的零点
与二分法类似，三分法可以用来解决具有单峰性质的题
三分的具体过程就是先取两个中间值，分别位于(dfrac{1}{3})和(dfrac{2}{3})处，根据单峰性判定一下正确答案在前(dfrac{2}{3})还是后(dfrac{2}{3})，然后接着再三分，直到找到答案或答案的近似值为止
二分法每次把答案范围缩小一半，三分法每次把答案范围变为原来的(dfrac{2}{3})，他们的时间复杂度都是(O(log n))的

12 传送带[Bzoj1857]

2020011700058

题意描述

在一个(2)维平面上有两条传送带，每一条传送带可以看成是一条线段。两条传送带分别为线段(AB)和线段(CD)。小y在(AB)上的移动速度为(P)，在(CD)上的移动速度为(Q)，在平面上的移动速度(R)。现在小y想从(A)点走到(D)点，他想知道最少需要走多长时间？

题解

三分套三分
小y走的路径一定是三条线段组成的折线
如果把离开(AB)线段的点设为(x)，到达(CD)的点设为(y)，总时间设为(z)，那么(z)是关于(x,y)的二元函数
可以证明这个函数形如一个山丘，也就是说可以先三分(x)再三分(y)求出(z)的最值

4 分治

分治就是“分而治之”，他可以把一个复杂的问题简单化，从全局变成局部，逐渐缩小问题的规模，更加高效的解决问题
怎么可以变得高效？
快速排序、归并排序，都是用了分治的思想把时间从(O(N^2))变成了(O(Nlog N))

13 逆序对

2020011700059

题意描述

给你个长度为(N)的序列，求这个序列的逆序对数量，(Nleq 100000)

题解

分而治之
直接暴力求的话，显然时间复杂度是不可接受的
我们不妨转换一下，分而治之
把整个数列劈成两半
则总的逆序对数量(=)左半部分逆序对数量(+)右半部分逆序对数量(+)左边的数比右边大的对数
前两项我们可以递归求解，最后一项我们可以在归并排序的同时稍加处理，(O(N))计算出来
这样时间复杂度与归并排序一样，都是(O(Nlog N))的

14 快速幂

2020011700060

题意描述

给你(A,B,)C，求(A)的(B)次方模(C)的余数
(A,Cleq 10^9,Bleq 10^{18})

题解

这是一个非常典型的分治例子
我们可以想像一下小学的时候我们如何计算2^16
(2^{16}=4^8=16^4=256^2=65536)
那如何计算(2^{18})呢？
(2^{18}=4^9=4 imes 4^8=4 imes 16^4=4 imes 256^2=4 imes 65536=262144)
快速幂也是如此

15 棋盘覆盖

2020011700061

题意描述

相传在一个国家，有一座宫殿。宫殿里有个四四方方的格子迷宫，国王选择驸马的方法非常特殊，也非常简单：公主就站在其中一个方格子上，只要谁能用地毯将除公主站立的地方外的所有地方盖上，美丽漂亮聪慧的公主就是他的人了。公主这一个方格不能用地毯盖住，毯子的形状有所规定，只能有四种选择(如下所示)：

并且每一方格只能用一层地毯，迷宫的大小为((2^K) imes (2^K))的方形。
请你给出一种方案。

题解

分而治之
直接做好像并不可行，我们考虑逐渐把问题简化
先假设迷宫是一个(2 imes 2)的方格，那么方案就很简单了：把公主没站的三个格子铺上地毯就OK了
现在想(4 imes 4)的方格，我们把它划分成(4)个(2 imes 2)的方格，公主必然站在其中之一，所以那个(2 imes 2)的方格的铺地毯方式就可以递归求出了。对于其他三个(2 imes 2)的格子，我们先铺一个跨过他们三个的地毯，然后把这块地毯想象成三个公主，我们就可以递归求解了
接着再想(8 imes 8)的方格，我们把它划分成(4)个(4 imes 4)的方格，公主必然站在其中之一，所以那个(4 imes 4)的方格的铺地毯方式就可以递归求出了。对于其他三个(4 imes 4)的格子，我们先铺一个跨过他们三个的地毯，然后把这块地毯想象成三个公主，我们就可以递归求解了

16 第(k)小元素

2020011700062

题意描述

给你一个长度为(N)的序列，要求你求出其中的第(k)小元素
(1leq Kleq Nleq 2000000)

※不可以直接排序再找第(k)小，这道题只允许(O(N))算法

题解

分而治之
类似快速排序，我们先随机找到一个值，然后扫一遍整个序列，这样可以统计出比他大的数的个数(X)和比他小的数的个数(Y)，以及跟他相等的个数(Z)，并按照(YZX)的顺序重新排列分为三部分
如果(Kleq Y),那我们不用管后部分，第(K)小元素一定在这些数当中，递归即可
如果(Y<kleq Y+Z),那这个元素就是第(K)小
如果(Y+Z<k)，那我们不用管前部分，第(K)小元素一定在后面的那些数中，我们要找那(X)个数中的第(K-(Y+Z))个元素
由于值是随机选取的，我们可以认为他把原数列分成差不多相等的两部分
所以(T(N)=O(N)+T(dfrac{N}{2}))，算法是(O(N))的

预告

更多以后可能会用到的分治
矩阵乘法快速幂加速递推
CDQ分治
整体二分
快速傅里叶变换
快速沃尔什变换
莫比乌斯变换
辛普森积分

5 递推

递推是指根据之前算出的值逐步计算出下一个值
这是学习动态规划之前必须弄明白的一个事情
实际上递推≈简单的动态规划

17 汉诺塔

2020011700063

题意描述

汉诺塔由编号为1到n大小不同的圆盘和三根柱子(a,b,c)组成。开始时，这(n)个圆盘由大到小依次套在(a)柱上，如图所示。要求把(a)柱上(n)个圆盘按下述规则移到(c)柱上：
(1)一次只能移一个圆盘，它必须位于某个柱子的顶部；
(2)圆盘只能在三个柱上存放；
(3)任何时刻不允许大盘压小盘。

将这(n)个盘子从(a)柱移动到(c)柱上，最少需要移动多少次？

题解

设移动(n)个盘子所用步数为(f[n])
我们可以将(n)个盘子的移动步骤划分为：
1.先将前(n-1)个盘子移动到(b)
2.把最大的盘子移动到(c)
3.再把(n-1)个盘子移动到(c)
第一步和第三步都需要用(f[n-1])步
所以(f[n]=2 imes f[n-1]+1)

18 放球问题

2020011700064

题意描述

A.有(n)个不同的球放要在(m)个相同的盒子，不允许有空盒子，问有多少种放置的方法？
B.有n个相同的球要放在m个相同的盒子里，可以有空盒子，问有多少种放置方法？

题解

(A)f[i][j]=f[i-1][j-1]+j*f[i-1][j]
(B)f[i][j]=f[i][j-1]+f[i-j][j]

19 核电站问题

2020011700065

题意描述

一个核电站有(N)个放核物质的坑，坑排列在一条直线上。
如果连续(3)个坑中放入核物质，则会发生爆炸，于是，在某些坑中可能不放核物质。
现在，请你计算：对于给定的(N)，求不发生爆炸的放置核物质的方案总数。

题解

设(f[i][j])表示前(i)个坑最后连续放了(j)个的方案数
则有(f[i][0]=f[i-1][0]+f[i-1][1]+f[i-1][2])
(f[i][1]=f[i-1][0])
(f[i][2]=f[i-1][1])

20 删数问题

2020011700066

题意描述

小明现在有(n)个不同的正整数(X_1,X_2,…X_n)排成一行。
小明每次可以将左边或右边删掉连续的若干个数（只能从两边删数）。
每次删数可以得到一个值，若删除从(i)到(j)的数（(i < j))，则得到的价值为(|X_i-X_j| imes (j-i+1))。
若只删除一个数((i=j))，则得到的价值为(X_i)。
现在小明想使得到的价值总和最大，请你帮他计算一下，这个最大值是多少？

题解

删数相当于把序列分段
设把前(i)个数分段后的最大价值为(f[i])

则有(f[i]=max(f[j]+V(j+1,i)),0leq j<i,V(a,b))代表从(a)到(b)的划分价值

21 凸多边形划分

2020011700067

题意描述

在一个凸(n)边形中，通过不相交于(n)边形内部的对角线，把(n)边形拆分成若干三角形，问有多少种拆分方案。
例如五边形有如下五种拆分方案。

题解

设(f[i])表示凸i边形的划分方案
我们考虑如何求(f[i])
我们随便选择一条边，这条边一定在一个三角形上
所以我们可以枚举剩下的那个顶点，这样划分完了之后，除了这个三角形，原来的多边形被划分成了两个(一个)小的凸多边形，接着划分的方案数就等于这两个方案数的乘积

22 HAOI2009 逆序对数列

2020011700068

题意描述

求(1)~(n)的所有排列中有多少种逆序对为(k)的方案数，(nleq 1000,kleq 1000)

题解

设(f[i][j])表示(1)~(i)的排列逆序对为(j)的方案数
我们怎么递推呢？
我们假设(1)~(i-1)已经排好了，现在要把(i)插进去
对于(i)个可插的位置，分别会产生(0,1,2..i-1)个新的逆序对
所以递推式子为

其实上一道题已经算动态规划了
动态规划说白了就是难一点的递推，难点就在于怎么设状态，怎么写转移方程…
多做做递推的题之后，刷DP就会易如反掌

6 构造法

所谓构造法是指当一个问题有1个或多个解，而我们找到了直接生成其中一个解的办法，或者找到了从一个解生成下一个解的办法时，直接通过构造而生成解，从而避免去搜索穷举产生解。

23 全序列给定数

2020011700069

题意描述

给定一个数(x(0 leq X leq 10^6)),求一个数(a ( 0leq a leq 10^{16}))使得 ：
1.(a) 是 (x) 的倍数
2.(a)的十进制表示包含(0)到(9)
举个例子, 如果 (x = 1), 那么 (9182736450) 就是一个符合条件的(a)
给出任意一个解即可

题解

构造
要求答案小于(10^{16}),不妨直接令(a)的前(10)位是(1234567890)，设(a%x=t)，只要使(a)的后(6)位为((x-t))即可

24 兔子值班

2020011700070

题意描述

给出一种方案，(nleq 999,n)是奇数

题解

奇妙的构造
总共有(C(n,2))对兔子，每次值班会对3对产生贡献，那么答案的上界就是(C(n,2))
的确存在达到上界的方案

for (int i=1;i<=(n>>1);i++) 
	for (int j=1;j<=n;j++) 
		printf("%d %d %d
",j,(j+i-1)%n+1,(j+i+i-1)%n+1);

长度为(3)，跨度小于(n)的所有等差数列(循环意义下)

25 最短路径

2020011700071

题意描述

提示：一个图可以一笔画当且仅当奇度数的点有(0)个或(2)个

题解

分类讨论
不妨设(xleq yleq z)
(x=1),平面
(x=2),高度为1
(x=3),只有顶点和面上的点度数为奇