BZOJ1911 [Apio2010]特别行动队

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Description

Input

Output

Sample Input

4
-1 10 -20
2 2 3 4

Sample Output

HINT

正解：DP+斜率优化

解题报告：

　　朴素DP很好想，就是$${f[i]=max(f[j]+a*(s[i]-s[j])^2+b*(s[i]-s[j])+c) (j<i)}$$

　　但是只有50分，考虑优化。

　　因为这个式子一看就很可推，试着证明有没有单调性或者可以弄出斜率...

　　如果j>k,且j比k更优，当且仅当

　 $${f[j]-f[k]+a*sum[j]^2-a*sum[k]^2+b*(sum[k]-sum[j])>2*a*(sum[j]-sum[k])*sum[i]}$$

　　移过去就是$${frac {f[j]-f[k]+a*sum[j]^2-a*sum[k]^2+b*(sum[k]-sum[j])}{2*a*(sum[j]-sum[k])} < sum[i] }$$

　　（ps：带a的那个式子，就是分母，是小于0的，所以要变号...）

　　然后维护一个斜率单增的单调队列，相当于是一个下凸的凸包，就ok了。

 1 //It is made by ljh2000
 2 #include <iostream>
 3 #include <cstdlib>
 4 #include <cstring>
 5 #include <cstdio>
 6 #include <cmath>
 7 #include <algorithm>
 8 #include <ctime>
 9 #include <vector>
10 #include <queue>
11 #include <map>
12 #include <set>
13 using namespace std;
14 typedef long long LL;
15 const int inf = (1<<30);
16 const int MAXN = 1000011;
17 int n;
18 LL a,b,c;
19 LL s[MAXN],f[MAXN];
20 int dui[MAXN],head,tail;
21 
22 inline int getint()
23 {
24     int w=0,q=0; char c=getchar();
25     while((c<'0' || c>'9') && c!='-') c=getchar(); if(c=='-') q=1,c=getchar(); 
26     while (c>='0' && c<='9') w=w*10+c-'0', c=getchar(); return q ? -w : w;
27 }
28 inline LL count(int x,int y){   return ( (f[x]-f[y])+a*(s[x]*s[x]-s[y]*s[y])-b*(s[x]-s[y]) )/(a*2*(s[x]-s[y])); }
29 inline void work(){
30     n=getint(); a=getint(); b=getint(); c=getint(); int x;
31     for(int i=1;i<=n;i++) x=getint(),s[i]=s[i-1]+x;
32     head=tail=1; dui[tail]=0; int from;
33     for(int i=1;i<=n;i++) {
34     while(head<tail && count(dui[head+1],dui[head])<s[i]) head++;
35     from=dui[head]; f[i]=f[from]+a*(s[i]-s[from])*(s[i]-s[from])+b*(s[i]-s[from])+c;
36     while(head<tail && count(dui[tail-1],dui[tail])>count(dui[tail],i)) tail--;
37     dui[++tail]=i;
38     }
39     printf("%lld",f[n]);
40 }
41 
42 int main()
43 {
44     work();
45     return 0;
46 }