同余基本概念
剩余系
欧拉函数
欧拉函数φ(n)表示1~n中所有与n互质的数。比如1~8中与8互质的数有1,3,5,7，所以φ(8)=4。
公式1：如果p是素数，有φ(p)=p-1。
公式2（积性）：如果(a,b)=1，有φ(a*b)=φ(a)*φ(b)，
--->以下是公式二的证明过程
设模a的一个简系为a1,a2,a3,…,aφ(a)，模b的一个简系为b1,b2,b3,…,bφ(b) 现在我们要证明：所有ai∗b+bj∗a（共φ(a)*φ(b)个）组成了模a*b的一个简系（即φ(a*b)=φ(a)*φ(b)）。 判定简系需要证明下面三点：
-
(ai∗b+bj∗a,a∗b)=1。
-
ai∗b+bj∗a≢ak∗b+bt∗a(mod a∗b)(i!=k或j!=t)
-
对于任意k满足(k,a*b)=1,则一定有k≡ai∗b+bj∗a(mod a∗b)（即没有遗漏）
证明1： (ai∗b+bj∗a,a∗b)=1。
因为(a,ai)=1,(a,b)=1，所以(a,ai*b)=1，由辗转相除法可得(a,ai*b+bj*a)=(a,ai*b)=1，同理得(b,ai*b+bj*a)=1。 所以1得证。
证明2： ai∗b+bj∗a≢ak∗b+bt∗a(mod a∗b)(i!=k或j!=t)
证明3： 对于任意k满足(k,a*b)=1,则一定有k≡ai∗b+bj∗a(mod a∗b)
所以φ(n)是积性函数（但不是完全积性，因为要满足(a,b)=1）。 有了这个公式，就可以推得欧拉函数的通项公式。
又因任意两个p互质（没有共同质因子），
所以：
公式4：欧拉函数的通项公式
由
求欧拉函数值
1.如果只求φ(n)，唯一分解 那么我们就直接将n唯一分解处理出每一个n的素数，然后用通项公式就行了。 效率：O(√n)
2、如果要求φ(1~n) 用唯一分解就比较慢了，所以我们可以用筛法求出φ(1~n)，原理和筛素数是一样的。普通筛法用到的是通项公式，而线性筛法用到公式1、公式2（积性）和公式3。
普通筛法代码：
线性筛法代码：
解释一下上面代码make_phi函数里的第一个循环（下图中的x即循环中的i）
这里附几道求欧拉函数值的习题：
洛谷 P2303 [SDOi2012]Longge的问题
--->题解
洛谷 P2568 GCD
--->题解
模运算
【同余的几个性质】
性质1：a≡a（mod m），（自反性）
性质2：若a≡b（mod m），那么b≡a（mod m）（对称性）
性质3：若a≡b（mod m），b≡c（mod m）=>a≡c（mod m）（传递性）
性质4：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么a±c≡b±d（mod m）（可加减性）
证明：设a=A+Ka*m,b=A+Kb*m,c=C+Kc*m,d=C+Kd*m则(a±c)%m=(A±C)，(b±d)%m=(A±C)即a±c≡b±d（mod m）
性质5：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么ac≡bd（mod m）（可乘性）
证明：设a=A+Ka*m,b=A+Kb*m,c=C+Kc*m,d=C+Kd*m则ac=( A+Ka*m)( C+Kc*m),bd=( A+Kb*m)( C+Kd*m)所以ac%m=AC bd%m=AC即ac≡bd（mod m）
性质6：若a≡b（mod m），那么an≡bn（mod m）（其中n为自然数）
证明：由性质1和性质5得。
性质7：若ac≡bc（mod m），（c，m）=1，那么a≡b（mod m）
证明：ac≡bc（mod m）=>c(a-b)≡0（mod m）=>c%m*(a-b)%m=0 =>m|c或m|(a-b)又因为(m,c)=1.所以m|(a-b)即a≡b（mod m）
性质8：若a≡b（mod m），那么a^t≡b^t（mod m）
证明：由性质5得。
性质9：若 a≡b(mod m1) a≡b(mod m2)…. a≡b(mod mk) 则 a≡b(mod [m1,m2……mk])
证明：由题意得mi|(a-b) （1<=i<=k）即(a-b)是mi的公倍数，所以[m1,m2……mk]|(a-b)即a≡b(mod [m1,m2……mk])
欧拉定理
若正整数a、n互素，有：
消去律：如果 gcd(c,p) = 1 ，则 ac ≡ bc mod p ⇒ a ≡ b mod p 。
费马小定理
若正整数 a 与素数 p 互质，则有 a^(p-1) ≡ 1 mod p。
证明这个定理非常简单，由于 φ(p) = p -1，代入欧拉定理即可证明。
欧拉定理的推论
扩展欧几里得算法
欧几里得定理，即gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)
定理1：如果a、b是不全为0的整数，那么一定存在整数x、y使得ax+by=gcd(a,b)。
对于线性同余方程
可以改写成ax+ny=b的形式
如何求解 （以下讨论a>b）：
当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；（特解）
当a>b>0 时 设 ax1+ by1= gcd（a，b）；
bx2+ （a mod b）y2= gcd（b，a mod b）；
根据欧几里德原理有 gcd（a，b） = gcd（b，a mod b）；
则：ax1+ by1= bx2+ （a mod b）y2；
即：ax1+ by1= bx2+ （a - [a / b] * b）y2 = ay2+ bx2- [a / b] * by2；
（a mod b = a - [a / b]*b；[a / b]为a整除b） 也就是ax1+ by1 = ay2 + b（x2- [a / b] *y2）；
根据恒等定理得：x1=y2；y1=x2- [a / b] *y2；
这样就得到了求解 x1，y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2 :
引理：
ax+by = z，z为gcd（a，b）若干倍，求方程的解；
先求解ax+by = gcd（a，b），再将求出的解乘以 z/gcd（a，b）就好了。
求得了方程ax+by=gcd的一组特解为x0,y0；
通解：
-
如果a,b互质通解为x=x0+b*t, y=y0-a*t;
-
如果a,b不互质通解为x=x0+b/gcd*t, y=y0-a/gcd*t;
