连续数的和

题面描述

对于一个给定的正整数 n ，请你找出一共有多少种方式使 n 表示为若干个连续正整数的和，要求至少包括两个正整数。如 n=15 时，可以有 3 种方式：（ 1+2+3+4+5 ），（ 4+5+6 ），（ 7+8 ）。

输入数据

输入数据第一行为一个正整数 T ，表示测试数据的组数。 随后的 T 行中，每行包括一组测试数据，为一个整数 n（1≤T≤1000,n≤10^9）。

输出数据

对每一组输入数据，输出一行结果 ”Case #id: M” ，表示第 id 组数据的结果是 M ， id 从 1 开始。

样例输入

2
3
15

样例输出

Case #1: 1
Case #2: 3

方法一：

　　思路：对于一个给定的数n，例如22，设置两个指针 i，j     则所求为 sum(i,j) = i+(i+1)+(i+2)+...j =n   其每一个数必定小于等于n/2 +1 ，若非如此，无论怎么加都会超过原来的数。   那么就可以循环判断 sum(i,j) 与 n 的关系：

当 sum(i,j) ==n 时，得到一个个结果。

当 sum (i, j) < n 时，说明还不够，j往后一位变成j+1，此时sum = sum + j +1。

当 sum(i,j) > n时，说明过了，此时i往后移一位，变成i+1。此时 sum = sum -i。

直到 i >= j 或者 j > n/2+1。       

#include<iostream>

using namespace std;


int function(int n)
{
    int mid = n / 2 + 1;
    int i = 1;
    int j = i + 1;
    int sum = i + j;
    int count = 0;

    while (i < j && j <= mid)    
    {
        if (sum == n)
        {
            count++;
            sum -= i;
            i++;
        }
        else if (sum < n)
        {
            j++;
            sum += j;
        }
        else if (sum > n)
        {
            sum -= i;
            i++;
        }
    }
    return count;
}

int main()
{
    int i, n;
    cin >> n;
    int *a = new int[n + 1];

    for (i = 1; i <= n; ++i)
    {
        cin >> a[i];
    }

    for (i = 1; i <= n; ++i)
    {
        cout << "Case #" << i << ": " << function(a[i]) << endl;
    }

    return 0;

}

  此程序效率极低。。。提交后超出时间限制。。。

方法二：

利用等差数列

a_{n =} a₁+(n-1)d    这里公差d = 1

所以 a_{n =} a₁+n-1

S_{n =} (a₁+a_n)n/2 = (2a₁+n-1)n/2

我们输入的数就是S_n  ，我们要找的是以a₁开始递增的数列使其和为S_n

这里我们可以用循环来判定，给定一个n，S_n已知，就可以求出a，如果a为正整数那么就可以找到等差数列的首项，加上n给定，d=1，那么就可以写出这个和式子。

注意，这里的n无须一直从2开始枚举下去，可以由S_{n =} (a₁+a_n)n/2 = (2a₁+n-1)n/2，所以a₁=S_n/n-n/2+1/2，该式子为递减函数，n越大，a越小，而a最小为1，故另a=1时可确定n的最大范围。

令a=1，得二元一次方程（1/2+n/2）*n=S_n ，即n^2+n-2*S_n =0,可得方程两个根中取较大的根n=0.5*（-1+sqrt（1+8*S_n ）），从而确定n的最大枚举范围。

#include<iostream>
#include<math.h>
using namespace std;


int function(int n)
{
    int count = 0;       // count用来保存最后的结果
    double a1;
    int N = (int)(0.5*(-1 + sqrt(1 + 8 * n)));
    for (int cnt = 2; cnt <= N; ++cnt) {            从2开始枚举 
        a1 = 1.0*n / cnt - cnt / 2.0 + 1 / 2.0;
        if ((int)a1 == a1 && a1 > 0) {     //  如果得到的a1为整数且a1大于0 ，那么就符合预期
            count++;   //  每有一组符合，就加1
        }
    }
    return count;
}

int main()
{
    int i, n;
    cin >> n;
    int *a = new int[n + 1];

    for (i = 1; i <= n; ++i)
    {
        cin >> a[i];
    }

    for (i = 1; i <= n; ++i)
    {
        cout << "Case #" << i << ": " << function(a[i]) << endl;
    }
    system("pause");
    return 0;

}