一种类似等比数列求和问题的解法

有时，会遇到这样的问题：求 (sum_{i=1}^n i^kx^i)。
其中，k很小，n很大，x可以是数，矩阵，或多项式。
通常，有两种做法：

1. 将x放入矩阵中，并依次把((a+1)^i)拆开，把系数放入矩阵（其实就是杨辉三角）。
   这个方法比较容易，但时间复杂度为(O(k^3log n))。

2. 使用递归。从(frac n 2)的答案推到(n)的答案。
   根据n的奇偶性分类讨论。
   递归时维护0~k的所有答案。代码比较难写，注意细节。
   时间复杂度(O(k^2log n))。

例题：

• P4102 [HEOI2014]林中路径

这道题比较卡常，需要使用方法二。
代码：

#include <stdio.h>
#define md 1000000007
void fuz(int a[102][102],int b[102][102],int n)
{
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=n;j++)
			a[i][j]=b[i][j];
	}
}
void chf(int a[102][102],int b[102][102],int n)
{
	int jg[102][102]={0};
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=n;j++)
		{
			if(a[i][j])
			{
				for(int k=1;k<=n;k++)
					jg[i][k]=(jg[i][k]+1ll*a[i][j]*b[j][k])%md;
			}
		}
	}
	fuz(a,jg,n);
}
void chf(int a[102][102],int x,int n)
{
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=n;j++)
			a[i][j]=1ll*a[i][j]*x%md;
	}
}
void add(int a[102][102],int b[102][102],int n)
{
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=n;j++)
			a[i][j]=(a[i][j]+b[i][j])%md;
	}
}
int G[102][102],A[102][102],B[102][102],C[102][102],mi[102][102],ag[102][102],bg[102][102],cg[102][102],jh[102][102];
void dfs(int m,int n)
{
	if(m==1)
	{
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			for(int j=1;j<=n;j++)
				mi[i][j]=A[i][j]=B[i][j]=C[i][j]=G[i][j];
		}
		return;
	}
	if(m%2==0)
	{
		int z=m/2;dfs(z,n);
		fuz(ag,A,n);
		chf(ag,mi,n);
		add(A,ag,n);
		fuz(bg,B,n);
		chf(bg,mi,n);
		add(B,bg,n);
		chf(ag,z,n);
		add(B,ag,n);
		fuz(cg,C,n);
		chf(cg,mi,n);
		add(C,cg,n);
		chf(bg,z*2,n);
		add(C,bg,n);
		chf(ag,z,n);
		add(C,ag,n);
		chf(mi,mi,n);
	}
	else
	{
		int z=m/2;dfs(z,n);
		fuz(jh,mi,n);z+=1;
		chf(mi,G,n);
		fuz(ag,A,n);
		for(int i=1;i<=n;i++)
			ag[i][i]=(ag[i][i]+1)%md;
		chf(ag,mi,n);
		add(A,ag,n);
		fuz(bg,B,n);
		chf(bg,mi,n);
		add(B,bg,n);
		chf(ag,z,n);
		add(B,ag,n);
		fuz(cg,C,n);
		chf(cg,mi,n);
		add(C,cg,n);
		chf(bg,z*2,n);
		add(C,bg,n);
		chf(ag,z,n);
		add(C,ag,n);
		chf(mi,jh,n);
	}
}
int main()
{
	int n,m,k,q;
	scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&k,&q);
	for(int i=0;i<m;i++)
	{
		int a,b;
		scanf("%d%d",&a,&b);
		G[a][b]+=1;
	}
	dfs(k,n);
	for(int i=0;i<q;i++)
	{
		int s,t;
		scanf("%d%d",&s,&t);
		printf("%d
",C[s][t]);
	}
	return 0;
}