题目链接：https://codeforces.com/problemset/problem/1136/E
题目大意：给你n个数$a_i$，n-1个附加值$k_i$，操作1，将第$x$位置的值加上$val$如果，此时$a_x+k_x>a_{x+1}$那么$a_{x+1}=a_x+k_x$以此类推直到不满足为止，操作2，查询$[l,r]$的和。
Examples
3 1 2 3 1 -1 5 s 2 3 + 1 2 s 1 2 + 3 1 s 2 3
5 7 8
3 3 6 7 3 1 3 + 1 3 + 2 4 s 1 3
33
emmm，可以先整个暴力的，单点更新的时候如果后面的那个数满足更新条件就再次单点更新。。。然后T在22了，以下是暴力代码：
#include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std; #define lson l,mid,rt<<1 #define rson mid+1,r,rt<<1|1 #define lc rt<<1 #define rc rt<<1|1 typedef long long ll; const int mac=1e5+10; const int inf=1e9+10; ll sum[mac<<2],a[mac]; int b[mac],n; void push_up(int rt) { sum[rt]=sum[lc]+sum[rc]; } void build(int l,int r,int rt) { if (l==r){ scanf ("%lld",&a[l]); sum[rt]=a[l]; return; } int mid=(l+r)>>1; build(lson);build(rson); push_up(rt); } void update(int l,int r,int rt,int pos,ll x,int id) { if (l==r){ if (id) {sum[rt]=x; a[l]=x;} else {sum[rt]+=x; a[l]+=x;} if (l<n && a[l]+b[l]>a[l+1]) update(1,n,1,l+1,a[l]+b[l],1); return; } int mid=(l+r)>>1; if (mid>=pos) update(lson,pos,x,id); else update(rson,pos,x,id); push_up(rt); } ll query(int l,int r,int rt,int L,int R) { ll ans=0; if (l>=L && r<=R) return sum[rt]; int mid=(l+r)>>1; if (mid>=L) ans+=query(lson,L,R); if (mid<R) ans+=query(rson,L,R); return ans; } int main() { //freopen("in.txt","r",stdin); int q; scanf ("%d",&n); //for (int i=1; i<=10; i++) printf("%lld ",sum[i]);printf(" "); build(1,n,1); for (int i=1; i<n; i++) scanf ("%d",&b[i]); scanf ("%d",&q); while (q--){ char s[5]; int pos,x,l,r; scanf ("%s",s); if (s[0]=='+'){ scanf ("%d%d",&pos,&x); update(1,n,1,pos,1LL*x,0); } else { scanf ("%d%d",&l,&r); printf("%lld ",query(1,n,1,l,r)); } } return 0; }
然后我们就要考虑怎么优化了，实际上我们应该知道更新的过程是一个单调的，也就是说如果要从$i$更新到$j$那么$i$和$j$之间的也一定会更新，后面的一定不存在更新条件。也就是说我们可以考虑用二分来找到需要更新的最远的那个点，然后进行区间修改而不是单点修改。接下来的关键就是怎么找，对于合法的序列有以下式子：
$a_1+k_1<=a_2$
$a_2+k_2<=a_3$
$a_3+k_3<=a_4$
$vdots $
$a_i+k_i<=a_{i+1}$
那么做个合并就是$a_1+sum_{j=1}^{i}<=a_{i+1}$，那么对于不满足的情况就是大于了，我们直接对$k$值做个前缀和然后二分找到最远的位置。二分如下：
scanf ("%d%d",&pos,&val); ll now=query(1,n,1,pos,pos); int lf=pos,rf=n,res=pos; while (lf<=rf) { int mid=(lf+rf)>>1; ll tmp=query(1,n,1,mid,mid); if (tmp<now+val+sum[mid-1]-sum[pos-1]) { res=mid; lf=mid+1; } else rf=mid-1; }
然后就是区间更新的操作了，对于整个区间来讲，由于是更新区间，那么一定有$a_x=a_{x-1}+k_{x-1}$，那么也就是说对于整个区间$[l,r]$来讲，他们在变化之后整个区间的和值$sum$变化如下：
$sum=a_l+x+a_l+x+k_l+a_l+x+k_l+k_2+a_l+x+k_l+k_2+k_3cdots $
令$b_l=a_l+x$
$sum=b_l+b_l+k_l+b_l+k_l+k_2+b_l+k_l+k_2+k_3cdots +b_l+k_1+...k_{r-1}$
这里的$k$值的处理比较麻烦，要对前缀和再做个前缀和，那么对于第$l$个数而言，其$ss[l]=k_1+k_2+...k_l$但实际上我们只需要$k_l$所以我们需要对区间中每个数再减去$s[l-1]$，那么就会得到如下式子：
$sum[l,r]=(a_1+x-s[l-1])*(r-l+1)+sum_{i=l-2}^{r-1}s[i]$
那么代码也就出来了，还需要注意的一点是打标记别打0。。。打个永远也达不到的值。
以下是AC代码：
#include <cstdio> #include <algorithm> #include <cstring> using namespace std; #define lson l,mid,rt<<1 #define rson mid+1,r,rt<<1|1 #define lc rt<<1 #define rc rt<<1|1 typedef long long ll; const int mac=1e5+10; const ll inf=-1e18+10; struct node { int l,r; ll sum,f; }tree[mac<<2]; int b[mac]; ll sum[mac],ss[mac]; int deal(int x){return x>=0?x:0;} void build(int l,int r,int rt) { tree[rt].f=inf; tree[rt].l=l; tree[rt].r=r; if (l==r){ scanf ("%lld",&tree[rt].sum); return; } int mid=(l+r)>>1; build(lson);build(rson); tree[rt].sum=tree[lc].sum+tree[rc].sum; } void push_down(int rt) { tree[lc].sum=tree[rt].f*(tree[lc].r-tree[lc].l+1)+ss[tree[lc].r-1]-ss[deal(tree[lc].l-2)]; tree[rc].sum=tree[rt].f*(tree[rc].r-tree[rc].l+1)+ss[tree[rc].r-1]-ss[deal(tree[rc].l-2)]; tree[lc].f=tree[rt].f; tree[rc].f=tree[rt].f; tree[rt].f=inf; } void update(int l,int r,int rt,int L,int R,ll val) { if (l>=L && r<=R){ tree[rt].f=val; tree[rt].sum=val*(r-l+1)+ss[r-1]-ss[deal(l-2)]; return; } int mid=(l+r)>>1; if (tree[rt].f!=inf) push_down(rt); if (mid>=L) update(lson,L,R,val); if (mid<R) update(rson,L,R,val); tree[rt].sum=tree[lc].sum+tree[rc].sum; } ll query(int l,int r,int rt,int L,int R) { ll ans=0; if (l>=L && r<=R) return tree[rt].sum; if (tree[rt].f!=inf) push_down(rt); int mid=(l+r)>>1; if (mid>=L) ans+=query(lson,L,R); if (mid<R) ans+=query(rson,L,R); return ans; } int main() { //freopen("in.txt","r",stdin); int n,q; scanf ("%d",&n); build(1,n,1); for (int i=1; i<n; i++) scanf ("%d",&b[i]),sum[i]=sum[i-1]+b[i]; for (int i=1; i<n; i++) ss[i]=ss[i-1]+sum[i]; scanf ("%d",&q); while (q--){ char s[5]; int l,r,pos,val; scanf ("%s",s); if (s[0]=='s') { scanf ("%d%d",&l,&r); printf("%lld ",query(1,n,1,l,r)); } else { scanf ("%d%d",&pos,&val); ll now=query(1,n,1,pos,pos); int lf=pos,rf=n,res=pos; while (lf<=rf){ int mid=(lf+rf)>>1; ll tmp=query(1,n,1,mid,mid); if (tmp<now+val+sum[mid-1]-sum[pos-1]){ res=mid; lf=mid+1; } else rf=mid-1; } update(1,n,1,pos,res,now+val-sum[pos-1]); } } return 0; }