最大子序列求和算法二三

最大子序列求和算法二 递归求解

递归求解：整个求解数组分成三部分，最大子序列可能出现在三个地方，左半部分，右半部分，跨越左右部分(包括左半部分最后一个元素，右半部分第一个元素)

分别对这三部分求解，不断的在每部分再分成三部分，递归求解

每一次递归跨越部分可以先算出，但是左，右半部分，需要不断递归，知道剩一个元素，然后回溯加上原来已经算出的跨越部分，最后返回max3(三个里面最大的一个)

时间复杂度计算

假设递归求解需要时间为T(N) ，N=1 时 T(1)=1

两个递归时间+两个for循环时间(假设一次一个时间单元)

两个递归时间 2T(N/2) +N/2+N/2=2T(N/2)+N

k表示序列号从0开始

N=2^k;T(N)=N*(k+1),T(N)=NlogN+N

所以 O(N)=NlogN

线性时间O(N) 算法

基于数学分析 

设输入序列为A，长度为N，从a0开始求和并记录最大值，如a(0)，a(0)+a(1)，a(0)+a(1)+a(2)…，直到开始出现求和小于0则停止。设加到a(i)时开始小于0，即有a(0)，a(0)+a(1)，…，a(0)+…+a(p-1)都大于0，而a(0)+a(1)+…+a(p)<0。此时，可从a(p+1)重新开始求和并记录最大值。为什么可以这么做呢？我们把从a(1)到a(p)之间开始的子序列分为两种情形（设子序列的开始索引为start，结束索引为end）：

1、end<=p，a(start)+…+a(end)=a(0)+…+a(start)+…a(end) –[a(0)+…+a(start-1)]。由前面知，对于start-1<p，有a(0)+…+a(start-1)>0，所以可得到a(0)+…+a(start)+…a(end)> a(start)+…+a(end)。又由于a(0)+…+a(start)+…a(end)已经考虑过了，所以比其小的子序列无需考虑。

2、end>p，因为1<=start<=p，有a(0)+…+a(start-1)>0而a(0)+…+a(start)+…a(p)<0，所以有a(start)+…a(p)= a(0)+…+a(start)+…a(p)-[ a(0)+…+a(start-1)]<0。对于end>p，有a(start)+…+a(p)+…+a(end)<a(p+1)+…a(end)。

综上所述，只需要从a(p+1)开始重新求和，重复以上步骤即可得到最大子序列求和。

#include <stdio.h>
int max3(int a, int b, int c);

int maxSubSum1(const int array[], int left, int right) {
    int center,maxleftsum,maxrightsum;
    if (left == right)
        if (array[left] > 0)
            return array[left];
        else
            return 0;

     center = (left + right) / 2;
     maxleftsum = maxSubSum1(array, left, center);
     maxrightsum = maxSubSum1(array, center + 1, right);
    int maxleftbodersum = 0, leftbordersum = 0, i;
    for (i = center; i >= left; i--) {
        leftbordersum += array[i];
        if (leftbordersum > maxleftbodersum)
            maxleftbodersum = leftbordersum;
    }
    int maxrightbodersum = 0, rightbordersum = 0;
    for (i = center + 1; i <= right; i++) {
        rightbordersum += array[i];
        if (rightbordersum > maxrightbodersum)
            maxrightbodersum = rightbordersum;
    }

    return max3(maxleftsum, maxrightsum, maxrightbodersum + maxleftbodersum);

}

int max3(int a, int b, int c) {
    int max = a;
    if (b > max)
        max = b;
    if (c > max)
        max = c;
    return max;
}

int maxSubSum2(int const array[],int N){
    int maxsum=0,thissum=0,j;
    for(j=0;j<N;j++){
        thissum+=array[j];
        if(thissum > maxsum)
            maxsum = thissum;
        else if(thissum < 0)
            thissum = 0;
    }
    return maxsum;

}

int main(void) {
    int a[] = { 11, -2, 5, 8, 12, 6, -2, 4, -18, 7 };
    printf("maxSubSum1 %d
",maxSubSum1(a, 0, 9));
    printf("maxSubSum2 %d",maxSubSum2(a, 10));
    return 0;
}

 参考自 http://blog.csdn.net/superchanon/article/details/8228212

总结：优秀的算法是基于数学分析的基础上的