Java-求根号n

平方，开根号在java中是很简单的，Math.sqrt(double n)或者 Math.pow(double a, double b)，求a的b次方。但是我们可以自己想想，这些方法到底是怎么实现的。

就拿开根号来解释，它有两种方法，二分法和牛顿迭代法。

二分法：

比如求根号5

第一步:折半：       5/2=2.5

第二步:平方校验:  2.5*2.5=6.25>5，并且得到当前上限2.5，记录。

第三步:再次向下折半:2.5/2=1.25

第四步:平方校验：1.25*1.25=1.5625<5,得到当前下限1.25，记录

第五步:再次折半:2.5-(2.5-1.25)/2=1.875

第六步:平方校验：1.875*1.875=3.515625<5,得到当前下限1.875，替换下限值

......

一直到与5的差值在你定义的误差范围内才结束循环

代码：

import java.text.DecimalFormat;

public class Main {
      
    public static double sqrt(double num){
        if(num<0) {
            return -1;
        }
        
        double low = 0;
        double high = num/2;
        double precision = 0.000001;
        //格式化，保证输出位数
        DecimalFormat df = new DecimalFormat("#.00");
        
        double res = high;
        while(Math.abs(num-(res*res))>precision) {
            if(high*high > num) {
                double n= high - (high-low)/2;
                if(n*n>num) {
                    high = n;
                } else if(n*n<num){
                    low = n;
                }else {
                    return Double.valueOf(df.format(n));
                }
                res = n;
                
            } else if(high*high < num){
                double m = high + (high-low)/2;
                if(m*m>num) {
                    low = high;
                    high = m;
                } else if(m*m<num){
                    low = high;
                    high = m;
                }else {
                    return Double.valueOf(df.format(m));
                }
                res = m;
            } else {
                return Double.valueOf(df.format(high));
            }
        }
        
        return Double.valueOf(df.format(res));
    }
    
    public static void main(String[] args) {
        double a = 7;
        System.out.println(sqrt(37));
    }
}

牛顿迭代法：

其实就是逼近的思想，例如我们要求a的平方根，首先令f(x)=x^2-a，那么我们的目的就是求得x使得f(x)=0，也就是求x^2-a这条曲线与x轴的交点，画图举例：

 

 

 

由函数f(x)=x^2-a，我们求导可以知道，函数上任意一点(x,y)的切线的斜率为2x。假设过点（x0,y0）的切线方程为y=kx+b，那么切线与x轴的交点横坐标为-b/k。而b=y0-kx0,k=2x0,y0=x0^2-a,化简-b/k=（x0+a/x0）/2。

也就是说（x0+a/x0）/2是过点（x0,y0）的切线与x轴的交点的横坐标。记（x0+a/x0）/2=x',继续求过点（x',f(x')）的切线与x轴的交点的横坐标x''，很明显x''比x'更靠近函数f(x)=x^2-a与x轴的交点的横坐标(即a的正平方根)。逐渐的逼近f(x)=0;

所以公式为：x' = （x'+a/x'）/2。

代码：

import java.text.DecimalFormat;

public class Main1 {
    public static double sqrt(double x) {  
        if(x<0) {
            return -1;
        }
        //格式化，保证输出位数
        DecimalFormat df = new DecimalFormat("#.00");
        
        double k = x; 
        double precision = 0.000001;
        while((k*k-x)>precision) {
            k=0.5*(k+x/k);  
        }
        return Double.valueOf(df.format(k));
    }
    
    public static void main(String[] args) {
        double a = 9;
        System.out.println(sqrt(a));
    }
}

参考文献：

二分法和牛顿迭代法求平方根(Python实现)

牛顿迭代法求平方根