位运算 八皇后 N皇后
问题描述
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解法
直接在N*N的棋盘上进行深搜，试探着下棋，也就是回溯法。
对于一个皇后来说，我们需要判断她的 八个方向 ，即 主对角线，副对角线，行，列
1. 确定状态
第一眼的感觉是要用 四个数组来储存情况，但实际上只需要三个 ，把 行 排除在外
因为每次搜索的时候，都自动按行搜索，也就是变量 row ，每改变一次，代表了不同的行
接下来，分析主对角线 ，对于N*N的矩阵来说，主对角线上的值满足 行和列的差为定值
即，做减法得到的下标是唯一的，因为数组没有 负值的索引 所以要 再差值的基础上，加n
row - col + n 得到唯一的下标，
副对角线 ，行 列 之和为定值 row + col
列 直接利用下标 储存就行
2.试探着下棋 （回溯）
i 代表列 ，每次搜索按列递进，这样保证了每一列，只可能放一个棋子
lvis 代表 主对角线的状态 ，rvis 代表副对角线的状态 ，col 代表 列 的状态
if 那段表示 ，如果 主对角线，副对角线，列 上都没有棋子落下
之后 改变状态 ，将 主对角线，副对角线，列 都设置为 1
dfs(row + 1) 按行递进
dfs(row + 1)执行完之后，退回到之前的状态：
lvis，rvis，col 都置为 0 ，在这一行中找下一个可以放的位置
for(int i=1;i<=n;++i){
if(!lvis[i-row+8]&&!rvis[i+row]&&!col[i]){
lvis[i-row+8] = 1;
rvis[i+row] = 1;
col[i] = 1;
ans[row] = i;
dfs(row+1);
lvis[i-row+8] = 0;
rvis[i+row] = 0;
col[i] = 0;
}
}
1.朴素解法(回溯)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N =1e2+10;
bool lvis[N],rvis[N],col[N];
int n,tot,ans[N];
void dfs(int row){
if(row == n+1){
tot++;
for(int i=1;i<=8;++i){
cout<<ans[i]<<" ";
}
cout<<endl;
}
else {
for(int i=1;i<=n;++i){
if(!lvis[i-row+8]&&!rvis[i+row]&&!col[i]){
lvis[i-row+8] = 1;
rvis[i+row] = 1;
col[i] = 1;
ans[row] = i;//保存棋子的位置， 第row行，第i列；
dfs(row+1);
lvis[i-row+8] = 0;
rvis[i+row] = 0;
col[i] = 0;
}
}
}
}
int main(){
//cin>>n;
n = 8;
dfs(1);
cout<<tot<<endl;
return 0;
}
2.位运算解法（状态储存方式的不同）
根本思路是一样的，拿位运算解，就是把原先用数组储存状态的方式，改变为用 整数 int
因为 一个int 占 4个字节 4*8 个bit，所以相当于 含有 32个空间的数组
用位运算 大大降低了占用的空间支出
基本位运算操作
对于改变状态来说，无非就两种 ，1 和 0
对于特定位置 1 :
a |= (1<<i);
把 1 左移 i 位 ，得到一个32位整数
假如 i 为 2
(省略24位前置 0) 0000 0100
假如 i 为 1
(省略24位前置 0) 0000 0010
假如 i 为 7
(省略24位前置 0) 1000 0000
将其与 a 进行 或运算 ，原先 a上的第 i 位， 将被置为 1
对于特定位置 0:
a &= ~(1<<i);
~运算 ，把各位上的值都取反
假如 i 为 2
(省略24位前置 1) 1111 1011
假如 i 为 1
(省略24位前置 1) 1111 1101
假如 i 为 7
(省略24位前置 1) 0111 1111
将其与 a 进行 与运算 ，原先 a 上的第 i 位，将被置为 0
判断状态
x 的第 i 位 是否为 1
bool getbit(int x,int i){
return !((x>>i) & 1);
}
把 x 右移 i 位（这样当前 x 的第0 位，就是原先 x 的第 i 位）， 和 1进行与运算
完整代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N =1e2+10;
int lvis,rvis,col;
int n,tot,ans[N];
bool getbit(int x,int i){
return !((x>>i) & 1);
}
void dfs(int row){
if(row == n+1){
tot++;
for(int i=1;i<=8;++i){
cout<<ans[i]<<" ";
}
cout<<endl;
}
else {
for(int i=1;i<=n;++i){
if(getbit(lvis,i-row+8)&&getbit(rvis,i+row)&&getbit(col,i)){
lvis |= (1<<(i-row+8));
rvis |= (1<<(i+row));
col |= (1<<i);
ans[row] = i;
dfs(row+1);
lvis &= ~(1<<(i-row+8));
rvis &= ~(1<<(i+row));
col &= ~(1<<i);
}
}
}
}
int main(){
cin>>n;
//n = 8;
dfs(1);
cout<<tot<<endl;
return 0;
}
（C++ 自带 bitset ，可以不用这么麻烦）
只要把 这行
bool lvis[N],rvis[N],col[N];
替换成这行
bitset<N> lvis,rvis,col;
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N =1e2+10;
bitset<N> lvis,rvis,col;
int n,tot,ans[N];
void dfs(int row){
if(row == n+1){
tot++;
for(int i=1;i<=8;++i){
cout<<ans[i]<<" ";
}
cout<<endl;
}
else {
for(int i=1;i<=n;++i){
if(!lvis[i-row+8]&&!rvis[i+row]&&!col[i]){
lvis[i-row+8] = 1;
rvis[i+row] = 1;
col[i] = 1;
ans[row] = i;
dfs(row+1);
lvis[i-row+8] = 0;
rvis[i+row] = 0;
col[i] = 0;
}
}
}
}
int main(){
//cin>>n;
n = 8;
dfs(1);
cout<<tot<<endl;
return 0;
}
3. 最终版
既然状态可以用bit来储存，那么搜索的过程，是否可以通过位运算来简化呢？
可以的。
思路
我们把最终要达到的目标设置为命名为 goal ，
goal 在二进制位中，表示为 1111 1111 （八个一），代表我们要放八个皇后
对于 row ，lvis ，rvis 要把他们拆成 一维来看待，
row表示的是 这一行中已经被标记 （row的二进制为 1的个数） 的棋子，看成一维
例如 0100 1000 ，代表这一行中 第3位 和 第6位 不能放棋子，（也就是二进制为1的列有棋子）
lvis ，rvis 也看成一维 （与上面两种解法的状态表示完全不同）
代表的是当前这一行中 ， 由其他行棋子所产生的 标记 ，
例如 第一行有个位置被标记
0 0 1 0 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0 0
那么，第一行，lvis，rvis代表的是 由第一行的位置 5 所产生的标记 在第二行中的标记
goal & (~ (row|lvis|rvis));
所以，safe 得到的就是可行解的个数，全为 1 的goal & 可放位置 （如果不进行 & 运算，就会溢出）
这个可放位置就是 不可放位置的取反
因为 int 有 32个bit，这样就safe的值就被限制在了 8个bit 之间
while(safe)
相当于 BFS 中的解的队列 safe中的 1 一直出队，寻找下一个位置，直到safe为空
next = safe & (~safe + 1);//这句 等同于
// next = safe & -safe;
我们要拿出一个解，即最右边的一个解的位置，放棋子
例如 0100 1000 要取出这个1，该怎么办呢？
~0100 1000 = 1011 0111
1011 0111 + 1 = 1011 1000
再把 1011 1000
& 0100 1000
= 0000 1000 也就是最后一位 1
写的时候有两种方式，其实都代表的是一个意思
因为 在二进制当中 ，把一个整数 转变为 负数 ，相当于 各位取反 再 加 1
safe ^= next;// 删除最右边的一个解，等同于
// safe -= next; 直接删除
^运算 ，相同为假，不同为真
因为 next 代表 safe 的最右边的 1 ，所以 那一位就会被 去除
第二种写法 是因为 最右边为 1 ,假如他的位置是 i ，那么可以 直接减去 一个 2的幂次方的数字 (2^i)
dfs((lvis|next)<<1,(rvis|next)>>1,row|next);
当前 livs 对下一行 livs的影响 是把所有的标记左移一位得到的
例如 第一行有个位置被标记
0 0 1 0 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0 0
那么 lvis 左移 一位， 表示 第二行中的 第六个位置被标记
rvis 右移 一位， 表示 第三行中的 第四个位置被标记
lvis|next 标记占位 ，同理 rvis|next ， row|next
row != goal
如果 row 等于 goal ，说明 一行中的所有位置都被标记过，也就是放满了棋盘
tot++ ，答案数
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,tot,goal = (1<<8) - 1;
void dfs(int lvis,int rvis,int row){
int safe,next;
if(row != goal){
safe = goal & (~ (row|lvis|rvis));//得到可行解
while(safe){//
next = safe & (~safe + 1);// 得到 最右边的一个位置,safe & (-safe)
safe ^= next;// 删除最右边的一个解
bfs((lvis|next)<<1,(rvis|next)>>1,row|next);
}
}
else
tot++;
}
int main(){
//cin>>n;
n = 8;
dfs(0,0,0);
cout<<tot<<endl;
return 0;
}
建议结合三篇博文来看，再用笔、纸、代码 自行验证