超平面
超平面定义为：
，对向量W归一化得：
，其中，
，归一化处理可简化后续一些计算。
超平面单位法向量为w，证明如下：
设 
为超平面上得点，则有：
，
，向量w与超平面上任意方向线段垂直，则w为超平面单位法向量。
原点到超平面距离为b，证明如下：
过原点O作到超平面距离垂线，设OM=-kw，代入超平面得：
，
则原点O到超超平面距离为 
。
任意点N到超平面距离为 
，证明如下：
点N在OM上投影向量为：
，任意点N到超平面作垂线向量为：
，则距离为：
。
矩阵微分
1）y=Ax, y为m*1向量，x为n*1向量，A为m*n矩阵，A不依赖x，则有 
，证明如下：
， 
。
2）y=Ax, y为m*1向量，x为n*1向量，A为m*n矩阵，A不依赖x，x=f(z)，根据链式法则有 
。
3）
，y为m*1向量，x为n*1向量，A为m*n矩阵，A不依赖xy，则有 
，证明如下：
令 
，通过变换得： 
。
令 
，则有：
。
4）
，x为n*1向量，A为n*n矩阵，A不依赖x，则有 
，证明如下：
， 
，
，结论得证。
5），x为n*1向量，A为n*n对称矩阵矩阵，A不依赖x，由于 
，则有 
。
6）
，y为n*1向量，x为n*1向量，x与y均依赖于z，根据链式法则有 
，若x=y，则有 
。
7），y为m*1向量，x为n*1向量，A为m*n矩阵，A不依赖xy，x与y均依赖于z，根据链式法则有 
。
8），x为n*1向量，A为n*n矩阵，A不依赖x，x依赖于z，根据链式法则有 
。
9）A为n*n矩阵，A的各项为变量 
函数，定义 
，则有 
，证明如下：
由于 
，左右微分得：
，
。
曲率
曲率定义为单位弧段上切线旋转过的角度，
。针对直线情况，K=0表示直线无弯曲；针对圆形，
表示圆形弯曲程度与半径呈反比。
在直角坐标系下，设曲线方程为 
，且函数具有二阶导数，欲求曲线上某一固定点（x, f(x)) 的曲率，有如下推导：
根据导数定义可知 
，使用反函数重写得 
，两边对 x 求导得 
，
代入 
得 
，到此，建立起了 
与 
关系，根据弧微分公式可建立 
与 
关系，如下：
极限情况下，
，而 
，则有 
。
根据以上关系，可建立 
与 
关系：
。
当曲线表示为参数方程 
时，可以首先求出 y 对 x 的一阶与二阶导数，代入之前曲率公式即可。
使用反函数关系，可求得一阶导数为 
，由于一阶导数是关于 t 的函数，则二阶导数定义为 
，
根据基本求导法则得 
。
向量范数与矩阵范数
在实数空间R中，可以很方便比较两个数的大小关系。而针对两个n维向量 
，
，如果需要比较大小关系，需要定义一个准则，如到原点距离（即欧氏距离）。而范数即为不同的准则，如 
等，其公式为：
。
当k=2时，即为常见的欧式距离；当k=1时，为向量中各元素绝对值之和；当k=0时，表示向量中非零元素个数；当 
时，表示向量中绝对值最大元素绝对值。
针对 
时，可以使用极限求解，有 
。
将矩阵作用于向量（矩阵左乘向量），表示矩阵对向量进行线性变换。如果矩阵为单位矩阵，则变换后向量于变换前保持一致。如果矩阵非单位向量，变换后向量与变换前则存在差异，不同矩阵对向量的变换的差异不一致，这里使用矩阵范数表示这种变换的最大差异。显然，要度量变换前后向量差异，需要选择合适的度量准则，即以上所述的向量范数。
在选择了合适的向量范数后，对应的矩阵范数表示该度量规则下矩阵变换前后的最大差异，则有：
1）使用矩阵每列绝对值之和的最大值表示矩阵A的 
范数；
2）使用矩阵每行绝对值之和的最大值表示矩阵A的 
范数；
3）使用 
（矩阵 
最大特征值开平方）表示矩阵A的 
范数。
椭圆
标准椭圆解析方程为 
， a, b表示椭圆在xy方向上的半轴长度。
将标准椭圆旋转 
弧度后，相当于对当前坐标下图形上所有点旋转 
弧度后满足标准方程，则有 
。
从原点构建一条射线 
，射线与旋转 
弧度后椭圆相交于一点，如何求该点坐标，方法如下：
1）旋转坐标系 
弧度，在该坐标系下椭圆为标准椭圆；
2）原射线在新坐标系下表示为 
， 在该射线上存在一点满足标准椭圆方程 
，求解出新坐标系下交点坐标；
3）将求解出交点坐标旋转 
弧度即得到交点坐标。
分部积分法
求解积分 
，可使用分部积分法，具体思路如下：
1）根据积分乘法法则： 
，可做如下变形：
；
2）两边积分得： 
， 
；
3）令 u = x, dv = sinxdx，代入以上公式可得： 
；
4）解以上积分可得： 
。
空间直线
在 
中，直线方程可表示为 
。例如：
表示一条三维空间直线，可使用参数方程改写：
令 
，有：
， 直线方向向量为：
。
逆矩阵求解
如果矩阵（方阵） A 存在逆矩阵，则等式 
成立，可以使用 Gauss-Jordan Method 求逆矩阵，主要思路为对长方矩阵 
进行消元法处理，当矩阵 A 经过消元后得到 I，矩阵 I 则变成了 
。证明如下：
1）对 A 消元过程可描述为 
；
2）使用同样的消元矩阵作用于 I 可描述为：
，结论得证。
使用 Gauss-Jordan Method 求逆矩阵时，对矩阵 A 消元到 U 时并不停止消元，还需要继续对 U 消元，直到 U 变成对角矩阵，然后将对角矩阵化为单位矩阵。该过程同样作用于右边矩阵 I ，故 Gauss-Jordan Method 计算量较大，但逻辑简单明了，适合小矩阵时手动演算。更简单的方法是使用矩阵LU分解 + 多次回带即可求得逆矩阵。思路如下（假设3*3方阵）：
1）
可被改写为： 
，其中，
，
；
2）拆分以上等式为三个线性方程组：
；
3）观察以上三个线性方程组，其中，
为矩阵 
的列组成，其系数矩阵都为 A ，故仅需要一次LU分解，然后通过回带分别求解 
即可。