GCD-欧几里得定理（辗转相除）
Elements
(GCD(a,b)=GCD(b,a\%b))
Confirmation
设(a=bk+c)，显然有(c=a\%b)。设(d|a d|b)，则
[c=a-bk
]
[frac{c}{d}=frac{a}{d}-frac{b}{d}k
]
由右边的式子可知(frac{c}{d})为整数，即(d|c)所以对于(a,b)的公约数，它也会是(a\%b)的公约数。
反过来也需要证明
设(d|b d|(a\%b))，我们还是可以像之前一样得到以下式子
[frac{a\%b}{d}=frac{a}{d}-frac{b}{d}k
]
[frac{a\%b}{d}+frac{b}{d}k=frac{a}{d}
]
因为左边式子显然为整数，所以(frac{a}{d})也为整数，即(d|a)，所以(b,a\%b)的公约数也是(a,b)的公约数。
既然两式公约数都是相同的，那么最大公约数也会相同
所以得到式子
[gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)
]
Code
所以我们可以写出一个递归式，层层深入，直到 (b%(a%b)==0)，即正好为倍数整除时，递归回去就行了
int gcd(int a,int b)
{
if(b==0)
return a;
return gcd(b,a%b);
}
最后的返回值自然为(a，b)的最大公因数
EXGCD-扩展欧几里得定理
目的：求(ax+by=gcd(a,b))的一组可行解
证明
设
[ax_1+by_1=gcd(a,b)
]
[bx_2+(a\,mod\,b)y_2=gcd(b,a\,mod\,b)
]
由欧几里得定理可知：
[gcd(a,b)=gcd(b,a\,mod\,b)
]
所以
[ax_1+by_1=bx_2+(a\,mod\,b)y_2
]
又因为
[a\,mod\,b=a-(lfloorfrac{a}{b}
floor*b)
]
所以
[ax_1+by_1=bx_2+(a-(lfloorfrac{a}{b}
floor*b))y_2
]
[ax_1+by_1=ay_2+bx_2-lfloorfrac{a}{b}
floor*by_2=ay_2+b(x_2-lfloorfrac{a}{b}
floor y_2)
]
因为(a=a，b=b)，所以
[x_1=y_2
]
[y_1=x_2-lfloorfrac{a}{b}
floor y_2
]
将(x_2,y_2)不断代入递归求解直至(GCD)为0递归(x=1,y=0)回去求解，就像(GCD)一样的方法
int Exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if (!b)
{
x=1;y=0;
return a;
}
int d=Exgcd(b,a%b,x,y);
int t=x;
x=y;
y=t-(a/b)*y;
return d;
}
返回的值为(GCD)，在这个过程中计算(x，y)即可