1. 定义
范德蒙德行列式定义为：
[V(x_1, x_2, cdots, x_n) equiv
left|
egin{matrix}
1 & 1 & cdots & 1 \
x_1 & x_2 & cdots & x_n \
x^2_1 & x^2_2 & cdots & x^2_n \
vdots & vdots & ddots & vdots \
x^{n-1}_1 & x^{n-1}_2 & cdots & x^{n-1}_n
end{matrix}
ight|
]
可以证明，范德蒙德行列式等于
[V(x_1, x_2, cdots, x_n) = prod_{i>j} (x_i - x_j).
]
2. 证明
行列式中一行加上另一行的倍数，整个行列式的值不变。这个可以目测得到，这里就不写证明了。利用这个结论，对 Vander Monde 行列式进行行变换：
[V(x_1, x_2, cdots, x_n) =
left|
egin{matrix}
1 & 1 & cdots & 1 \
0 & x_2-x_1 & cdots & x_n-x_1 \
0 & x_2(x_2-x_1) & cdots & x_n(x_n-x_1) \
vdots & vdots & ddots & vdots \
0 & (x_2 - x_1)x^{n-2}_2 & cdots & (x_n-x_1)x^{n-2}_n
end{matrix}
ight|\
= (x_2-x_1)(x_3-x_1)cdots(x_n-x_1)
left|
egin{matrix}
1 & 1 & cdots & 1 \
x_2 & x_3 & cdots & x_n \
x^2_2 & x^2_3 & cdots & x^2_n \
vdots & vdots & ddots & vdots \
x^{n-2}_2 & x^{n-2}_3 & cdots & x^{n-2}_n
end{matrix}
ight|，
]
如此递推下去，即得
[V(x_1, x_2, cdots, x_n) = prod_{i>j}(x_i - x_j).
]
3. 应用：置换群群元的奇偶性
若有置换群元
[R = egin{pmatrix}
1 & 2 & cdots & n \
r_1 & r_2 & cdots & r_n
end{pmatrix},
]
现在定义，R 作用在 Vande Monde 行列式上，使它变为
[R V(x_1, x_2, cdots, x_n) = V(x_{r_1}, x_{r_2}, cdots, x_{r_n})，
]
上式右边是一个确定的值，而 (R) 若写成对换的连乘，由于每次对换给 Vander Monde 行列式添加一个负号，所以 (R) 的对换连乘形式中，对换个数的奇偶性一定是唯一的，不会因为对换形式（不唯一）的改变而改变。