zoukankan      html  css  js  c++  java
  • 最短路径算法

    acm算法最短路径

     

    能力有限,今天只是研究了两种fioyd和Dijkstra算法,还有一个BellmanFord得明天接触了,下一篇是c写的最短路径

    floyd算法

    部分内容参考 http://leon.cc.blogbus.com/logs/3629782.html

    All-Pairs 的最短路径问题:所有点对之间的最短路径

    Dijkstra算法是求单源最短路径的,那如果求图中所有点对的最短路径的话则有以下两种解法:

    解法一:

    以图中的每个顶点作为源点,调用Dijkstra算法,时间复杂度为O(n3);

    解法二:

    Floyd(弗洛伊德算法)更简洁,算法复杂度仍为O(n3)。

    n
        正如大多数教材中所讲到的,求单源点无负边最短路径用Dijkstra,而求所有点最短路径用Floyd。确实,我们将用到Floyd算法,但是,并不是说所有情况下Floyd都是最佳选择。

        对于没有学过Floyd的人来说,在掌握了Dijkstra之后遇到All-Pairs最短路径问题的第一反应可能会是:计算所有点的单源点最短路径,不就可以得到所有点的最短路径了吗。简单得描述一下算法就是执行n次Dijkstra算法。

        Floyd可以说是Warshall算法的扩展了,三个for循环便可以解决一个复杂的问题,应该说是十分经典的。从它的三层循环可以看出,它的复杂度是n3,除了在第二层for中加点判断可以略微提高效率,几乎没有其他办法再减少它的复杂度。

        比较两种算法,不难得出以下的结论:对于稀疏的图,采用n次Dijkstra比较出色,对于茂密的图,可以使用Floyd算法。另外,Floyd可以处理带负边的图。


        下面对Floyd算法进行介绍:

        Floyd算法的基本思想:

        可以将问题分解,先找出最短的距离,然后在考虑如何找出对应的行进路线。如何找出最短路径呢,这里还是用到动态规划的知识,对于任何一个城市而言,i到j的最短距离不外乎存在经过i与j之间的k和不经过k两种可能,所以可以令k=1,2,3,...,n(n是城市的数目),在检查d(ij)与d(ik)+d(kj)的值;在此d(ik)与d(kj)分别是目前为止所知道的i到k与k到j的最短距离,因此d(ik)+d(kj)就是i到j经过k的最短距离。所以,若有d(ij)>d(ik)+d(kj),就表示从i出发经过k再到j的距离要比原来的i到j距离短,自然把i到j的d(ij)重写为d(ik)+d(kj),每当一个k查完了,d(ij)就是目前的i到j的最短距离。重复这一过程,最后当查完所有的k时,d(ij)里面存放的就是i到j之间的最短距离了。

        Floyd算法的基本步骤:

        定义n×n的方阵序列D-1, D0 , … Dn-1,

    初始化: D-1=C

        D-1[i][j]=边<i,j>的长度,表示初始的从i到j的最短路径长度,即它是从i到j的中间不经过其他中间点的最短路径。

    迭代:设Dk-1已求出,如何得到Dk(0≤k≤n-1)?

        Dk-1[i][j]表示从i到j的中间点不大于k-1的最短路径p:i…j,

        考虑将顶点k加入路径p得到顶点序列q:i…k…j,

        若q不是路径,则当前的最短路径仍是上一步结果:Dk[i][j]= Dk-1[i][j];

        否则若q的长度小于p的长度,则用q取代p作为从i到j的最短路径。

        因为q的两条子路径i…k和k…j皆是中间点不大于k-1的最短路径,所以从i到j中间点不大于k的最短路径长度为:

        Dk[i][j]=min{ Dk-1[i][j], Dk-1[i][k] +Dk-1[k][j] }

      Floyd算法实现:
        可以用三个for循环把问题搞定了,但是有一个问题需要注意,那就是for循环的嵌套的顺序:我们可能随手就会写出这样的程序,但是仔细考虑的话,会发现是有问题的。
                         for(int i=0; i<n; i++)
                               for(int j=0; j<n; j++)
                                    for(int k=0; k<n; k++)  
       

         问题出在我们太早的把i-k-j的距离确定下来了,假设一旦找到了i-p-j最短的距离后,i到j就相当处理完了,以后不会在改变了,一旦以后有使i到j的更短的距离时也不能再去更新了,所以结果一定是不对的。所以应当象下面一样来写程序:

                        for(int k=0; k<n; k++)
                             for(int i=0; i<n; i++)
                                  for(int j=0; j<n; j++)

        这样作的意义在于固定了k,把所有i到j而经过k的距离找出来,然后象开头所提到的那样进行比较和重写,因为k是在最外层的,所以会把所有的i到j都处理完后,才会移动到下一个k,这样就不会有问题了,看来多层循环的时候,我们一定要当心,否则很容易就弄错了。
         接下来就要看一看如何找出最短路径所行经的城市了,这里要用到另一个矩阵P,它的定义是这样的:p(ij)的值如果为p,就表示i到j的最短行经为i->...->p->j,也就是说p是i到j的最短行径中的j之前的最后一个城市。P矩阵的初值为p(ij)=i。有了这个矩阵之后,要找最短路径就轻而易举了。对于i到j而言找出p(ij),令为p,就知道了路径i->...->p->j;再去找p(ip),如果值为q,i到p的最短路径为i->...->q->p;再去找p(iq),如果值为r,i到q的最短路径为i->...->r->q;所以一再反复,到了某个p(it)的值为i时,就表示i到t的最短路径为i->t,就会的到答案了,i到j的最短行径为i->t->...->q->p->j。因为上述的算法是从终点到起点的顺序找出来的,所以输出的时候要把它倒过来。
         但是,如何动态的回填P矩阵的值呢?回想一下,当d(ij)>d(ik)+d(kj)时,就要让i到j的最短路径改为走i->...->k->...->j这一条路,但是d(kj)的值是已知的,换句话说,就是k->...->j这条路是已知的,所以k->...->j这条路上j的上一个城市(即p(kj))也是已知的,当然,因为要改走i->...->k->...->j这一条路,j的上一个城市正好是p(kj)。所以一旦发现d(ij)>d(ik)+d(kj),就把p(kj)存入p(ij)。
       下面是具体的C代码:

    复制代码
    #include <stdio.h>           
    #include <limits.h>
    #include <stdlib.h>
    #define MAXSIZE 20

    void floyd(int [][MAXSIZE], int [][MAXSIZE], int);
    void display_path(int [][MAXSIZE], int [][MAXSIZE], int);
    void reverse(int [], int);
    void readin(int [][MAXSIZE], int *);

    #define MAXSUM(a, b) (((a) != INT_MAX && (b) != INT_MAX) ?
    ((a) + (b)) : INT_MAX)

    void floyd(int dist[][MAXSIZE], int path[][MAXSIZE], int n)
    {
    int i, j, k;
    for (i = 0; i < n; i++)
    for (j = 0; j < n; j++)
    path[i][j] = i;
    for (k = 0; k < n; k++)
    for (i = 0; i < n; i++)
    for (j = 0; j < n; j++)
    if (dist[i][j] > MAXSUM(dist[i][k], dist[k][j]))
    {
    path[i][j] = path[k][j];
    dist[i][j] = MAXSUM(dist[i][k], dist[k][j]);
    }
    }

    void display_path(int dist[][MAXSIZE], int path[][MAXSIZE], int n)
    {
    int *chain;
    int count;
    int i, j, k;
    printf(" Origin->Dest Dist Path");
    printf( " -----------------------------");
    chain = (int *) malloc(sizeof(int)*n);
    for (i = 0; i < n; i++)
    for (j = 0; j < n; j++)
    {
    if (i != j)
    {
    printf(" %6d->%d ", i+1, j+1);
    if (dist[i][j] == INT_MAX)
    printf(" NA ");
    else
    {
    printf("%4d ", dist[i][j]);
    count = 0;
    k = j;
    do
    {
    k = chain[count++] = path[i][k];
    } while (i != k);
    reverse(chain, count);
    printf("%d", chain[0]+1);
    for (k = 1; k < count; k++)
    printf("->%d", chain[k]+1);
    printf("->%d", j+1);
    }
    }
    }
    free(chain);
    }

    #define SWAP(a, b) { temp = a; a = b; b = temp; }

    void reverse(int x[], int n)
    {
    int i, j, temp;
    for (i = 0, j = n-1; i < j; i++, j--)
    SWAP(x[i], x[j]);
    }

    void readin(int dist[][MAXSIZE], int *number)
    {
    int origin, dest, length, n;
    int i, j;
    char line[100];
    gets(line);
    sscanf(line, "%d", &n);
    *number = n;
    for (i = 0; i < n; i++)
    {
    for (j = 0; j < n; j++)
    dist[i][j] = INT_MAX;
    dist[i][i] = 0;
    }
    gets(line);
    sscanf(line, "%d%d%d", &origin, &dest, &length);
    while (origin != 0 && dest != 0 && length != 0)
    {
    dist[origin-1][dest-1] = length;
    gets(line);
    sscanf(line, "%d%d%d", &origin, &dest, &length);
    }
    }
    /// 测试程序如下所示:
    int main(void)
    {
    int dist[MAXSIZE][MAXSIZE];
    int path[MAXSIZE][MAXSIZE];
    int n;
    printf(" Input the path information:");
    printf(" ---------------------------- ");
    readin(dist, &n);
    floyd(dist, path, n);
    display_path(dist, path, n);
    getchar();
    }
    其中readin函数规定了输入的格式,第一列是指出有多少个城市;第二列以后每行三个数;第一个和第二个是一条路径的起点和终点,第三个数是路径的长度,最后以三个0作为输入结束条件。下面是一个输入的例子:
    Input the path information:
    --------------------------------------
    4
    1 2 5
    2 1 50
    2 3 15
    2 4 5
    3 1 30
    3 4 15
    4 1 15
    4 3 5
    0 0 0
    对应的输出结果为:
    Origin->Dest Dist Path
    ----------------------------------------------
    1->2 5 1->2
    1->3 15 1->2->4->3
    1->4 10 1->2->4
    2->1 20 2->4->1
    2->3 10 2->4->3
    2->4 5 2->4
    3->1 30 3->1
    3->2 35 3->1->2
    3->4 15 3->4
    4->1 15 4->1
    4->2 20 4->1->2
    4->3 5 4->3
    复制代码

    Dijkstra算法

    一种最短路径算法,用于计算一个节点到其它所有节点的最短路径,动态路由协议OSPF中就用到了Dijkstra算法来为路由计算最短路径。

    算法本身并不是按照我们的正常思维习惯,我们一般会,从原点遍历所有与之相连的节点,找到最短路径,再从最短路径上的那个点遍历与之相连的所有其它点(原点除外),然后依次类推。这样做虽然可以算出一个树形,但是在大多数情况下,这种算法会产生很多次优路径,也就是说非最短路径。

    Dijkstra算法的大概过程:

    假设有两个集合或者说两个表,表A和表B

    表A表示生成路径,表B表示最后确定的路径

    1.从原点出发,遍历检查所有与之相连的节点,将原点和这些节点存放到表A中,并记录下两节点之间的代价。

    2.将代价最小的代价值和这两节点移动到表B中(其中一个是原点)。

    3.把这个节点所连接的子节点找出,放入到表A中,算出子节点到原点的代价

    4.重复第二步和第三步直到表A为空。然后根据表B中的数据算出最优树。

    维基百科中还有另一种说法,Dijkstra算法的输入包含了一个有权重的有向图G,以及G中的一个来源顶点S。 我们以V表示G中所有顶点的集合。 每一个图中的边,都是两个顶点所形成的有序元素对。(u,v)表示从顶点u到v有路径相连。 我们以E所有边的集合,而边的权重则由权重函数w: E → [0, ∞]定义。 因此,w(u,v)就是从顶点u到顶点v的非负花费值(cost)。 边的花费可以想像成两个顶点之间的距离。任两点间路径的花费值,就是该路径上所有边的花费值总和。 已知有V中有顶点s及t,Dijkstra算法可以找到s到t的最低花费路径(i.e. 最短路径)。 这个算法也可以在一个图中,找到从一个顶点s到任何其他顶点的最短路径。

    Dijstra算法的基础操作是边的拓展:如果存在一条从u到v的边,那么从s到u的最短路径可以通过将边(u,v)添加到尾部来拓展一条从s到v的路径。这条路径的长度是d[u]+w(u,v)。如果这个值比目前已知的d[v]的值要小,我们可以用新值来替代当前d[v]中的值。拓展边的操作一直执行到所有的d[v]都代表从s到v最短路径的花费。这个算法经过组织因

    Dijkstra算法

     

     自己写的每次更新后的所对应的一些顶点和距离的变化

    S U

    {1} {2,3,4,5,6} {0,2,4,∞,∞,∞}

    {1,2} {3,4,5,6} {0,2,3,6,4,∞}

    {1,2,3} {4,5,6} {0,2,3,6,4,∞}

    {1,2,3,5} {4,6} {0,2,3,6,4,6}

    {1,2,3,5,4} {6} {0,2,3,6,4,6}

    {1,2,3,5,4,6} {} {0,2,3,6,4,6}

  • 相关阅读:
    sql 行列转换之关键字pivot,unpivot
    构建动态表达式(初级)
    HttpApplication事件执行顺序
    【转】delegate.BeginInvoke 注意事项
    Jquery.extend函数详解【转】
    【转】NET中反射实现 可空类型 与基础类型的转换 以及获取指定属性的大小问题
    sql执行字符串
    Javascript获取浏览器地址栏url各项值
    你妹的浏览器DNS缓存
    LazyLoad 延迟加载图片的jQuery插件介绍
  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/luyi14/p/4277552.html
Copyright © 2011-2022 走看看