BZOJ2732：[HNOI2012]射箭——题解

https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2732

https://www.luogu.org/problemnew/show/P3222#sub

沫沫最近在玩一个二维的射箭游戏，如下图 1 所示，这个游戏中的 x 轴在地面，第一象限中有一些竖直线段作为靶子，任意两个靶子都没有公共部分，也不会接触坐标轴。

沫沫控制一个位于(0,0)的弓箭手，可以朝 0 至 90度中的任意角度（不包括 0度和 90度），以任意大小的力量射出带有穿透能力的光之箭。由于游戏中没有空气阻力，并且光之箭没有箭身，箭的轨迹会是一条标准的抛物线，被轨迹穿过的所有靶子都认为被沫沫射中了，包括那些 只有端点被射中的靶子。

这个游戏有多种模式，其中沫沫最喜欢的是闯关模式。

在闯关模式中，第一关只有一个靶 子，射中这个靶子即可进入第二关，这时在第一关的基础上会出现另外一个靶子，若能够一箭 双雕射中这两个靶子便可进入第三关，这时会出现第三个靶子。依此类推，每过一关都会新出 现一个靶子，在第 K 关必须一箭射中前 K 关出现的所有 K 个靶子才能进入第 K+1 关，否则游戏 结束。

沫沫花了很多时间在这个游戏上，却最多只能玩到第七关”七星连珠“，这让她非常困惑。 于是她设法获得了每一关出现的靶子的位置，想让你告诉她，最多能通过多少关

前排先提醒一下，做这道题就是在作死。

二分答案，然后就能够知道要选多少竖线，再判断是否存在二次函数穿过所有竖线即可。

二次函数判断与一堆竖线的交点？枚举两个点构成二次函数再判断？显然TLE。

考虑y=ax^2+bx，如果我们考虑判断是否有合法的a和b的话能不能更好写。

于是我们有y1/x<=ax+b<=y2/x，于是有：

-xa+y1/x<=b;

-xa+y2/x>=b;

很像线性规划，围成了一块面积。

那我们把所有这样的式子杂在一起求下半平面交就好了！

但是显然a<0,b>0，那么我们除了加外边框之外还要再加两条边。

另外如果可行域是一个点或一个线段也是可以的，为了避免误判需要将靶子上下扩大一点。

另外本题严重卡精度，开小了会WA，开大了会TLE。

我从未见过有如此卡爆精度之题！

你们为什么卡精度这么熟练，你们精度卡了多少遍！

#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long double dl;
const dl eps=1e-15;
const dl INF=1e10;
const int N=100020;
struct point{dl x,y;};
struct line{
    point a,b;
    dl angle;int id;
    line(){}
    line(dl x1,dl y1,dl x2,dl y2){
    a.x=x1;a.y=y1;b.x=x2;b.y=y2;
    angle=atan2(b.y-a.y,b.x-a.x);
    }
}e[N*2],t[N*2],q[N*2];
int n,m;
inline point getmag(point a,point b){
    point s;
    s.x=b.x-a.x;s.y=b.y-a.y;
    return s;
}
inline dl multiX(point a,point b){
    return a.x*b.y-b.x*a.y;
}
inline bool cmp(line a,line b){
    if(fabs(a.angle-b.angle)<eps)
    return multiX(getmag(b.a,a.a),getmag(b.a,b.b))<=eps;
    return a.angle<b.angle;
}
inline point intersection(line a,line b){
    dl k1,k2,t;
    k1=multiX(getmag(a.a,b.a),getmag(a.a,a.b));
    k2=multiX(getmag(a.a,a.b),getmag(a.a,b.b));
    t=k1/(k1+k2);
    point s;
    s.x=b.a.x+(b.b.x-b.a.x)*t;
    s.y=b.a.y+(b.b.y-b.a.y)*t;
    return s;
}
inline bool jud(line a,line b,line c){
    point p=intersection(a,b);
    return multiX(getmag(c.a,p),getmag(c.a,c.b))<=eps;
}
bool pan(int k){
    int l=1,r=0,cnt=0;
    for(int i=1;i<=m;i++){
    if(e[i].id<=k&&(!cnt||e[i].angle>t[cnt].angle))t[++cnt]=e[i];
    }
    q[++r]=t[1];q[++r]=t[2];
    for(int i=3;i<=cnt;i++){
    while(l<r&&!jud(q[r],q[r-1],t[i]))r--;
    while(l<r&&!jud(q[l],q[l+1],t[i]))l++;
    q[++r]=t[i];
    }
    while(l<r&&!jud(q[r],q[r-1],q[l]))r--;
    while(l<r&&!jud(q[l],q[l+1],q[r]))l++;
    return r-l+1>2;
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    e[++m]=line(0,0,0,1),e[m].id=0;
    e[++m]=line(0,0,1,0),e[m].id=0;
    e[++m]=line(INF,INF,-INF,INF),e[m].id=0;
    e[++m]=line(-INF,INF,-INF,-INF),e[m].id=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        dl a,y1,y2;
        scanf("%Lf%Lf%Lf",&a,&y1,&y2);y1-=eps;y2+=eps;
    dl b=y1/a,c=y2/a;
    e[++m]=line(0,b,1,b-a),e[m].id=i;
    e[++m]=line(1,c-a,0,c),e[m].id=i;
    }
    sort(e+1,e+m+1,cmp);
    int l=1,r=n;
    while(l<r){
        int mid=(l+r+1)>>1;
        if(pan(mid))l=mid;
        else r=mid-1;
    }
    printf("%d
",l);
    return 0;
}

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