BZOJ3197：[SDOI2013]刺客信条——题解

https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3197

故事发生在1486 年的意大利，Ezio 原本只是一个文艺复兴时期的贵族，后来因为家族成员受到圣殿骑士的杀害，决心成为一名刺客。最终，凭借着他的努力和出众的天赋，成为了杰出的刺客大师，他不仅是个身手敏捷的武林高手，飞檐走壁擅长各种暗杀术。刺客组织在他的带领下，为被剥削的平民声张正义，赶跑了原本统治意大利的圣殿骑士首领-教皇亚历山大六世。在他的一生中，经历了无数次惊心动魄、扣人心弦的探险和刺杀。

曾经有一次，为了寻找Altair 留下的线索和装备，Ezio 在佛罗伦萨中的刺客墓穴进行探索。这个刺客墓穴中有许多密室，且任何两个密室之间只存在一条唯一的路径。这些密室里都有一个刺客标记，他可以启动或者关闭该刺客标记。为了打开储存着线索和装备的储藏室，Ezio 必须操作刺客标记来揭开古老的封印。要想解开这个封印，他需要通过改变某些刺客标记的启动情况，使得所有刺客标记与封印密码“看起来一样”。

在这里，“看起来一样”的定义是：存在一种“标记”密室与“密码”密室之间一一对应的关系，使得密室间的连接情况和启动情况相同（提示中有更详细解释）。幸运的是，在Ezio 来到刺客墓穴之前，在Da Vinci 的帮助下，Ezio 已经得知了打开储藏室所需要的密码。

而你的任务则是帮助Ezio 找出达成目标所需要最少的改动标记次数。

参考：https://www.luogu.org/blog/user29936/solution-p3296

多半是树哈希判同构了。

设$f[u][v]$表示$u$子树和$v$子树同构且同层的情况下$u$子树原标记变动成$v$子树的新标记需要的最少次数。

那么实际上就是枚举$u$和$v$的儿子子树互相匹配，用他们的$f$转移到$f[u][v]$上，很明显这是一个带权二分图匹配的过程，KM是一个很好的选择。

如果要是枚举根来做的话，复杂度就是$O(1331n^2)$过不了，当然如果你使用动态换根的话，虽然我没有想过，但是到目前位置，代码已经快200行了，如果再动态换根的话就要累死了（当然debug就更累了）。

我们有个很妙的性质：取这棵树的重心（如果有两个重心，则将两个重心之间的边上建这个点，取这个点）作为根。

因为我们有一个美妙的结论：两棵树同构，当且仅当以两棵树重心为根的树同构。

（其实我也不知道为什么233可能是此时同构的对是最多的吧……）

#include<map>
#include<cmath>
#include<stack>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef unsigned long long ll;
const int M=12;
const int N=705;
const int B=6662333;
const int INF=1e9;
inline int read(){
    int X=0,w=0;char ch=0;
    while(!isdigit(ch)){w|=ch=='-';ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))X=(X<<3)+(X<<1)+(ch^48),ch=getchar();
    return w?-X:X;
}
int dis[M][M],wx[M],wy[M],match[M],sla[M];
bool vx[M],vy[M];
bool dfs2(int u,int n){
    vx[u]=1;
    for(int v=1;v<=n;v++){       
        if(!vy[v]){
            int w=wx[u]+wy[v]-dis[u][v];
            if(!w){
                vy[v]=1;
                if(!match[v]||dfs2(match[v],n)){
                    match[v]=u;return 1;
                }
            }else sla[v]=min(sla[v],w);
        }
    }
    return 0;
}
int KM(int n){
    memset(wx,-127,sizeof(wx));
    memset(wy,-127,sizeof(wy));
    memset(match,0,sizeof(match));
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            wx[i]=max(wx[i],dis[i][j]);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        memset(sla,127,sizeof(sla));
        while(1){
            memset(vx,0,sizeof(vx));
            memset(vy,0,sizeof(vy));
            if(dfs2(i,n))break;
            int minn=INF;
            for(int j=1;j<=n;j++)
                if(!vy[j])minn=min(minn,sla[j]);
            for(int j=1;j<=n;j++){
                if(vx[j])wx[j]-=minn;
                if(vy[j])wy[j]+=minn;
                else sla[j]-=minn;
            }
        }
    }
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)if(dis[match[i]][i]!=-INF)ans-=dis[match[i]][i];
    return ans;
}
struct node{
    int to,nxt;
}e[N*2];
int n,cnt,head[N],fa[N],a[N],b[N],q[N],size[N],son[N],dep[N];
ll h[N];
inline void add(int u,int v){
    e[++cnt].to=v;e[cnt].nxt=head[u];head[u]=cnt;
}
int calcg(int st){
    int r=0,g1,g2=0,maxn=n;
    q[++r]=st;fa[st]=0;
    for(int l=1;l<=r;l++){
    int u=q[l];size[u]=1;son[u]=0;
    for(int i=head[u];i!=-1;i=e[i].nxt){
        int v=e[i].to;
        if(v==fa[u])continue;
        fa[v]=u;q[++r]=v;
    }
    }
    for(int l=r;l>=1;l--){
    int u=q[l],v=fa[u];
    if(r-size[u]>son[u])son[u]=r-size[u];
    if(son[u]<maxn)g1=u,maxn=son[u],g2=0;
    else if(son[u]==maxn)g2=u;
    if(!v)break;
    size[v]+=size[u];
    if(size[u]>son[v])son[v]=size[u];
    }
    if(!g2)return g1;
    for(int i=head[g1];i!=-1;i=e[i].nxt){
    int v=e[i].to;
    if(v==g2){
        e[i].to=++n;e[i^1].to=n;
        add(n,g1);add(n,g2);
        return n;
    }
    }
}
ll dfs1(int u){
    ll num[N];int r=0;
    size[u]=1;h[u]=B;
    for(int i=head[u];i!=-1;i=e[i].nxt){
    int v=e[i].to;
    if(v==fa[u])continue;
    fa[v]=u;dep[v]=dep[u]+1;num[++r]=dfs1(v);size[u]+=size[v];
    }
    sort(num+1,num+r+1);
    for(int i=1;i<=r;i++)h[u]=h[u]*B+num[i];
    return h[u]*=size[u];
}
int f[N][N],to1[N],to2[N];
int find(int u1,int u2){
    int idx1=0,idx2=0;
    memset(to1,0,sizeof(to1));
    memset(to2,0,sizeof(to2));
    for(int i=head[u1];i!=-1;i=e[i].nxt){
    int v1=e[i].to;if(v1==fa[u1])continue;
    if(!to1[v1])to1[v1]=++idx1;
    for(int j=head[u2];j!=-1;j=e[j].nxt){
        int v2=e[j].to;if(v2==fa[u2])continue;
        if(!to2[v2])to2[v2]=++idx2;
        //printf("1 %d %d %d
",v1,v2,f[v1][v2]);
        dis[to1[v1]][to2[v2]]=-f[v1][v2];
    }
    }
    return KM(idx1)+(a[u1]!=b[u2]);
}
int bfs(int s){
    int r=0;
    q[++r]=s;
    for(int l=0;l<=r;l++){
    int u=q[l];
    for(int i=head[u];i!=-1;i=e[i].nxt){
        int v=e[i].to;
        if(v==fa[u])continue;
        q[++r]=v;
    }
    }
    for(int i=r;i>=0;i--){
    if(dep[q[i]]!=dep[q[r]]){
        i++;
        for(int j=r;j>=i;j--)
        for(int k=r;k>=i;k--)
            if(h[q[j]]==h[q[k]]){
            f[q[j]][q[k]]=find(q[j],q[k]);
            //printf("%d %d %d
",q[j],q[k],f[q[j]][q[k]]);
            }
        r=i-1;
    }
    }
    return find(s,s);
}
int main(){
    cnt=-1,memset(head,-1,sizeof(head));
    n=read();
    for(int i=1;i<n;i++){
    int u=read(),v=read();
    add(u,v);add(v,u);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)b[i]=read();
    int rt=calcg(1);fa[rt]=0;
    dfs1(rt);
    for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)f[i][j]=INF;
    printf("%d
",bfs(rt));
    return 0;
}

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