关于合同标准形的专题讨论

合同标准形

$f命题：$设$alpha $,$eta $为实$n$维非零列向量，求$alpha eta '{ m{ + }}eta alpha '$的正负惯性指数

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$f命题：$设$A = left( {{a_{ij}}} ight),B = left( {{b_{ij}}} ight)$均为$n$阶正定阵，则$f{Hadamard积}$$H = left( {{a_{ij}}{b_{ij}}} ight)$也是正定阵

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$f命题：$设$A$为$n$阶实对称半正定阵，则$A^*$半正定

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$f命题：$设$n$元实二次型$fleft( {{x_1},{x_2}, cdots ,{x_n}} ight)$的正负惯性指数分别为$p,q(p ge q)$，则存在$q$维子空间$W$，使得$fleft( x ight) = 0,forall x in W$

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$f命题：$

$f(10北科大九)$设$fleft( {{x_1},{x_2}, cdots ,{x_n}} ight)$是秩为$n$的二次型，则存在${R^n}$上的一个$frac{1}{2}left( {n - left| s ight|} ight)$维子空间${V_1}$，使得对任意$left( {{x_1},{x_2}, cdots ,{x_n}} ight) in {V_1}$，有$fleft( {{x_1},{x_2}, cdots ,{x_n}} ight) = 0$

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$f(05南开四)$设$fleft( x ight) = {x^T}Ax,gleft( y ight) = {y^T}By$均为实数域上$n$元二次型，且存在实数域上$n$阶方阵$C,D$，使得[A = {D^T}BD,B = {C^T}AC]证明：$f(x)与g(y)$具有相同的规范形

$f(09北大三)$设$S$为$n$阶实对称阵，$S_1,S_2$均为$m$阶实对称阵，且$left( {egin{array}{*{20}{c}}S&{} \ {}&{{S_1}}end{array}} ight)$合同于$left( {egin{array}{*{20}{c}}S&{} \ {}&{{S_2}}end{array}} ight)$，证明：$S_1与S_2$合同

$f(06华师六)$设$A$为$n$阶实对称阵，则$A与{A^*}$合同的充要条件是什么？并证明你的结论

正交合同标准形

 

$f命题：$设$A$为$n$阶正定阵，$alpha ,eta $为$n$维列向量，则${left( {{alpha ^T}eta } ight)^2} le left( {{alpha ^T}Aalpha } ight)left( {{eta ^T}{A^{ - 1}}eta } ight)$ 

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$f命题：$设实对称阵$A$的最大特征值等于$x'Ax$的最大值，其中$x$取${R^n}$中的单位向量

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$f命题：$设$A$，$B$均为实对称半正定阵，则$trleft( {AB} ight) le trleft( A ight) cdot trleft( B ight)$

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$f命题：$设$A,B$为$n$阶实对称阵，且$rleft( {A + lambda B} ight) = 1$对任意数$lambda$都成立，则$B=0$

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$f命题：$设$A,B$为实数域上的$n$阶方阵，且$AB+BA=0$，证明：若$A$为半正定阵，则$AB=BA=0$

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$f命题：$

$f(10浙大五)$设$A$为$n$阶实对称阵，则存在幂等阵${B_i}$，使得$A = sumlimits_{i = 1}^s {{lambda _i}{B_i}} $，其中$i = 1,2, cdots ,s$

$f(13中科院六)$设$A$为$n$阶半正定阵，则$left| {A + 2013E} ight| ge {2013^n}$当且仅当$A=0$时等号成立

$f(06中科院七)$设实二次型$fleft( x ight) = x'Ax$，$A$为$3 imes 3$实对称阵，且满足方程[{A^3} - 6{A^2} + 11A - 6E = 0]试计算   $mathop {max}limits_A mathop {max}limits_{left| x ight| = 1} fleft( x ight)$，其中${left| x ight|^2} = {x_1}^2 + {x_2}^2 + {x_3}^2$

$f(12南航八)$设$A,B$均为$n$阶实对称阵，且$A={B^3}$，证明下列命题

   (1)方程组$AX=0$与$BX=0$同解

   (2)对任意的实数$c eq0$，矩阵$P=c^{2}E_{n}+cB+B^{2}$是正定阵

   (3)$A$的特征向量都是$B$的特征向量

$f(10厦大五)$设$A$为$n$阶实对称可逆阵，则$A$正定的充要条件是对任意的正定阵$B$，有$tr(AB)>0$

同时合同对角化

$f命题：$设$A$为正定阵，$B$为实对称阵，则$A$，$B$可同时合同对角化

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$f命题：$设$A$，$B$均为实对称半正定阵，则$A$，$B$可同时合同对角化

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$f命题1：$设$A,B$均为正定阵，则$left| {A + B} ight| ge left| A ight| + left| B ight|$

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$f命题2：$设$A,B$分别为正定阵与半正定阵，则$left| {A + B} ight| ge left| A ight|$

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$f命题3：$设$A,B$均为半正定阵，则$left| {A + B} ight| ge left| A ight| + left| B ight|$

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$f命题：$设$A$实对称正定，$B$实对称半正定，则$trleft( {B{A^{ - 1}}} ight)trleft( A ight) ge trleft( B ight)$

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$f(10华科七)$设$A$为正定阵，$B$为对称阵，则存在常数$c$，使得$cA + B$为正定阵

$f(08华科三)$设$A,B in {R^{n imes n}}$，且$A,B,A - B$均正定，则${B^{ - 1}} - {A^{ - 1}}$也正定

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$f(08华科五)$设$A,B$分别为$n$阶正定阵与半正定阵，则$left| A ight| + left| B ight| le left| {A + B} ight|$当且仅当$B = 0$时等号成立

$f(05中科院四)$证明函数$ln det left(  cdot   ight)$在对称正定矩阵集上是凹函数，即对任意的对称正定矩阵$A,B$及$lambda  in left[ {0,1} ight]$,有[ln det left( {lambda A + left( {1 - lambda } ight)B} ight) le lambda ln det left( A ight) + left( {1 - lambda } ight)ln det left( B ight)]

$f(14南大七)$设$A,B in {R^{n imes n}}$，且$B$正定，$A-B$半正定，证明：

(1)$|A-lambda B=0|$的所有根$lambda  geqslant 1$   (2)$left| A ight| geqslant left| B ight|$