关于含参变量反常积分一致收敛的专题讨论

$f命题：$讨论$quad$$Ileft( y ight) = int_0^{ + infty } {frac{{sin {x^2}}}{{1 + {x^y}}}dx} $$quad$在$left[ {0, + infty } ight)$上的一致收敛性

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$f命题：$

$f(10中南大学六)$已知$int_0^{ + infty } {frac{{sin pi x}}{x}dx = frac{pi }{2}} $，求$Ileft( a ight) = int_0^{ + infty } {{e^{ - ax}}frac{{sin pi x}}{x}dx} left( {a > 0} ight)$

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$f(12川大七)$设$fleft( x ight) = int_1^{ + infty } {frac{{sin xt}}{{tleft( {1 + {t^2}} ight)}}} dt,x in left( { - infty , + infty } ight)$

(1)证明：$f(x)$关于$x$在$( - infty , + infty)$上一致收敛

(2)证明：$lim limits_{x o egin{array}{*{20}{c}}{ + infty } end{array}} fleft( x ight) = 0$

(3)证明：$f(x)$在$( - infty , + infty)$上一致连续