关于正定阵与半正定阵的专题讨论

$f命题：$设$A$为$m$阶正定阵，$B$为$m imes n$实矩阵，则${B^T}AB$正定当且仅当$rleft( B ight) = n$

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$f命题：$设$A$为$n$阶实对称阵，$S$为$n$阶正定阵，则$AS$的特征值全为实数

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$f命题：$设$A,B$均为$n$阶正定阵，若$AB=BA$，则$AB$为正定阵

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$f命题：$设$A$为半正定阵，则满足${X^T}AX = 0$的所有$X$组成${R^n}$的$n - rleft( A ight)$维子空间

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$f命题：$设$A,B$均为实对称阵，$A$正定，证明：$B$正定当且仅当$AB$的特征值全大于零

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$f命题：$设$A$为$n$阶半正定阵，且$E geqslant A$(即$E-A$半正定)，证明：对于任意的$n$阶实正交阵$O$，都有$det left( {E - AO} ight) geqslant det left( {E - A} ight)$

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$f(14浙大八)$证明：$A$正定的充要条件是存在方阵$B_i$，$B_i$中至少有一个非退化，使得$A = sumlimits_{i = 1}^n {{B_i}{B_i}^T} $

附录

$f命题：$设$A$为$n$阶实对称矩阵，则$A$半正定当且仅当对任意$varepsilon  > 0$，有$varepsilon E + A$正定

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$f命题：$设$A$为$n$阶正定阵，则$A$的绝对值最大的元素必在其主对角线上

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$f命题：$$A$为实对称正定阵的充要条件是$A$的一切主子式均大于零

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$f命题：$