leetcode problem 11 Container With Most Water

Given n non-negative integers a₁, a₂, ..., a_n, where each represents a point at coordinate (i, a_i). n vertical lines are drawn such that the two endpoints of line i is at (i, a_i) and (i, 0). Find two lines, which together with x-axis forms a container, such that the container contains the most water.

Note: You may not slant the container.

思路： 设Hight[i]为第i个line的高度，设立两个指针left和right初始分别指向最左端和最右端，maxArea由此得到初始面积。然后左指针不断右移，右指针不断左移直到他们相交并由此更新最大面积。移动规则如下：

　　　　　　　　　　　　　if (Height[left] < Height[right]) 

　　　　　　　　　　　　　　　　　　left++

　　　　　　　　　　　　　else

　　　　　　　　　　　　　　　　　　right--

　　　　　　即如果左指针小，那么左指针右移。如果右指针小，那么右指针左移。

先贴出代码，再证明为什么这种移动法能够得到最大面积。

class Solution {
public:
    int maxArea(vector<int> &height) {
        int left = 0, right = height.size()-1;
        int  max_area= 0;
        while (left < right) {
            int tmp = area(min(height[left], height[right]), right - left);
            if (max_area < tmp)
                max_area = tmp;
            if (height[left] < height[right]) 
                ++left;
            else
                --right;
        }    
        return max_area;
    }
private:
    int area(int x, int y){
        return x*y;
    }
};

下面证明这种方法可以得到最大面积：

　　首先我们需要知道，left和right指针一定会遍历所有端点，且它们不会有公共的遍历点。

　　然后我们可以先假设已经知道了最大面积，并设其左端点为leftMax，右端点为rightMax，且不妨设Height[leftMax] < Height[rightMax]。我们需要证明的是存在某一个时刻使得left=leftMax and right=rightMax

　　

　　由于两个端点构成了最大面积，那么可以得到

　　　　（1） Height[left] < Height[leftMax]     (1 <= left < leftMax)  且

　　　　（2 ） Height[right] < Height[leftMax]  (leftMax+1 <=right <=totalNum)

　　根据假设：

　　　　（3） Height[leftMax] < Height[rightMax]

       那么根据算法的规则：如果左端点比右端点小，左端点右移，反之亦然。那么由此可得：

　　　　（4）如果left先到达leftMax，而right还未到达rightMax，那么根据(2)，right一定会一直移动到rightMax而left呆在leftMax不动

　　　　（5）如果right先到达rightMax，而left还未达到leftMax，那么根据(1)和(3)，left一定会一直移动到leftMax而right呆在rightMax不懂。

　　根据（4）和（5）得到一定存在某一个时刻使得left=leftMax and right=rightMax。