洛谷 p1516 青蛙的约会 题解

dalao们真是太强了,吊打我无名蒟蒻

我连题解都看不懂,在此篇题解中,我尽量用语言描述,不用公式推导(dalao喜欢看公式的话绕道,这篇题解留给像我一样弱的)

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如果不会扩展欧里几德的话请先去做

洛谷 p1082 同余方程

设跳了k次

所以km - kn + x - y = 0(mod l)
所以k(m - n) + h * l = y - x
这个移项应该没问题吧

设(m - n)为a,k为x,h为y,
l为b,(y - x)为m

那么转换为ax + by = m
根据裴蜀定理ax + by = gcd(a,b)有解

但不代表ax + by = m无解
我们可以让等式两边同除一个m,再同乘一个gcd(a,b)

就成了ax / m * gcd(a,b) + by / m * gcd(a,b) = gcd(a,b)

把(x / m * gcd(a,b))作为新的x,(y / m * gcd(a,b))作为新的y

再利用扩展欧里几德可以求出新的x
即(x / m * gcd(a,b))

我们如果求出了(x / m * gcd(a,b)),那么也可以求出x(乘一个m再除一个gcd就好了)

但是这并不意味这每个方程都有解,因为我们的x代表的是k
也就是x代表跳的次数,所以仅可以作为整数
也就是如果我们必须让 m整除gcd(a,b)即m % gcd(a,b) == 0
如果m % gcd(a,b)不等于0,那么方程无解

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

inline long long read(){long long s=0,w=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9') s=s*10+ch-'0',ch=getchar();return s*w;}

long long xx,yy,t,AC = 0;

long long gcd(long long x,long long y){//求gcd
	if(y == 0) return x;
	return gcd(y,x % y);
}

void exgcd(long long a,long long b){//正宗exgcd
	if(b == 0){
		xx = 1;
		yy = 0;
		return ;
	}
	exgcd(b,a % b);
	t = xx;
	xx = yy;
	yy = t - a / b * yy;
}

int main()
{
	long long x = read(),y = read();
	long long m = read(),n = read();
	long long l = read();

	long long a = n - m,b = l,mm = x - y;
	if(a < 0){//我们让第一只青蛙开始再第二只后面,如果不是这样就调换位置(~~因为青蛙是一样的~~)
		mm = -mm;
		a = -a;
	}
	long long g = gcd(a,b);
	long long t = b / g;

	if(mm % g){//不是0则无解
		cout<<"Impossible"<<endl;
		return AC;
	}

	exgcd(a,b);
	long long ans = xx * (mm / g);//我以为答案就是这样

	cout<<(ans % t + t) % t<<endl;//至于%t+t%t也是看了其他大佬的题解才知道的,不过我并不知道为什么,(太弱了,雾)

	return AC;//返回AC保平安
}