由于我是蒟蒻，就用蒟蒻能理解的简单说法来讲吧。
乘法逆元用于同余方程中。数学家们看到在同余方程中的加减乘法都好做，只有除法不好搞，于是发明了乘法逆元这么个东西。。。
根据蒟蒻的理解，乘法逆元是这样的：
设C为B的乘法逆元，
有 A/B≡D(mod p)
则有 A*C≡D(mod p)
显然这就是把除法变成了乘法，这样同余方程就可以解了。
如何求乘法逆元？
这里只给出一种方法（因为我就会一种而且它最简单）：费马小定理
a在mod p意义下的乘法逆元是 a^(p-2)
根据费马小定理，a^(p-1)=1(mod p)
所以a^(p-2)=a^(-1) (mod p)
另外，如果一个数与模数不互质时，这个数没有乘法逆元
为什么?我也不知道
本蒟蒻现年初二，如有错误，欢迎大佬指正。
蒟蒻现在还听不懂一些过于高深的证明（知识水平见初二数学课本），所以无法在这里讲解，望大佬们见谅！