「算法笔记」线性筛

一、Etratosthenes 筛法

任意整数 (x) 的倍数 (2x,3x,cdots) 都不是质数。考虑从 (2) 开始，由小到大扫描每个数 (x)，把它的倍数 (2x,3x,cdots,lfloor frac{n}{x} floor imes x) 标记为合数。当扫描到一个数时，若它尚未被标记，则它不能被 (2sim x-1) 之间的任何数整除，该数就是质数。

另外，可以发现，(2) 和 (3) 都会把 (6) 标记为合数。实际上，小于 (x^2) 的 (x) 的倍数在扫描更小的数时就已经被标记过了。可以对 Etratosthenes 筛法进行优化，对于每个数 (x)，只需要从 (x^2) 开始，把 (x^2,(x+1) imes x,cdots,lfloor frac{n}{x} floor imes x) 标记为合数即可。

memset(vis,0,sizeof(vis));    //合数标记 
for(int i=2;i<=n;i++){
    if(vis[i]) continue;
    p[++cnt]=i;    //i 是质数 
    for(int j=i;j<=n/i;j++) vis[i*j]=1;
}

时间复杂度：(O(nlog log n))。

二、线性筛法

可以发现，即使在优化后（从 (x^2) 开始），Eratosthenes 筛法仍然会重复标记合数。如果能让每个合数都只被标记一次，那么时间复杂度就可以降到 (O(n)) 了。

每个数被它最小的质因子筛一次。

vis[0]=vis[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
    if(!vis[i]) p[++cnt]=i;
    for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=n;j++){
        vis[i*p[j]]=1;
        if(i%p[j]==0) break;
    }
} 

• 每个数被它的最小质因子筛掉。每次筛去 (i imes p[j])，(p[j]) 是这个数的最小质因子。

• 如果 (imid p[j]) 说明 (i imes p[j]) 有两个 (p[j]) 的质因子，并且 (p[j]) 是 (i imes p[j]) 的最小质因子。若再枚举，则 (p[j]) 就不是 (i imes p[j]) 的最小质因子了。所以筛过一次 (p[j]) 就 break。

三、筛积性函数

1. 一些定义

数论函数是指一个正整数到整数的映射。

积性函数：对于所有 互质 的整数 (a,b)，有性质 (f(ab)=f(a)f(b)) 的数论函数。(f(1)=1)。

完全积性函数：对于所有整数 (a,b)，有性质 (f(ab)=f(a)f(b)) 的数论函数。

2. 常见的积性函数

约数个数函数　　(d(n)=sum_{d|n} 1)

约数和函数　　(sigma (n)=sum_{d|n} d)

约数 (k) 次幂函数　　(sigma _k (n)=sum_{d|n} d^k)

欧拉函数　　(varphi (n)=sum_{i=1}^n [gcd(i,n)=1])

莫比乌斯函数　　(mu (n)=egin{cases}1&{n=1}\(-1)^k&c_{1,2,...,k}=1 (n=prod_{i=1}^k p_i^{c_i})\0&c_i>1end{cases})

四、常见线性筛

1. 求约数和

给定 (n)，求 (f(1),f(2)...f(n))。其中 (f(x)=sum_{d|x} d)。

证明约数和函数是积性函数:

考虑 (a,b)，并且 (gcd(a,b)=1,ab=x)。

(f(a)f(b)=sum_{dmid a}dsum_{pmid b}p=sum_{dmid a}sum_{pmid b}dp=sum_{(dp)mid (ab)} dp=sum_{tmid x}t=f(x))

其中，因为 (gcd(a,b)=1)，则 (gcd(d,p)=1)。

线性筛求约数和函数：

根据唯一分解定理，可得：(n=p_1^{c_1} imes p_2^{c_2} imes cdots imes p_k^{c_k}=prodlimits_{i=1}^k p_i^{c_i})。

(sigma (x)=(1+p_1+p_1^2+cdots+p_1^{c_1}) imes (1+p_2+p_2^2+cdots p_2^{c_2}) imes cdots imes (1+p_k+p_k^2cdots p_k^{c_k}))

(sigma (x)=prodlimits_{i=1}^k sumlimits_{j=0}^{c_i} p_i^j)。其中 (sigma (x)) 表示 (x) 的约数和。

令 (f_i) 表示 (i) 的约数和，(g_i) 表示 (1+p+p^2+cdots +p^c)，其中 (p) 表示 (i) 的最小质因子。

g[1]=f[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
    if(!vis[i]) p[++cnt]=i,g[i]=f[i]=i+1;    //当 i 是质数时，显然有 g[i]=f[i]=i+1
    for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=n;j++){
        vis[i*p[j]]=1;
        int x=i*p[j];
        if(i%p[j]==0){
            g[x]=g[i]*p[j]+1,f[x]=f[i]/g[i]*g[x];    //多了一个因子，也就是 1+p^1+p^2+...+p^c 变成了 1+p^1+p^2+...+p^{c+1} 了，那么更新 g 只需要将所有的乘上 p 再 +1 就好了。 
            break;
        }
        else f[x]=f[i]*f[p[j]],g[x]=1+p[j];    //新的因子（i*p[j] 里原先没有 p[j] 这一项） 。p[j] 是 i*p[j] 的最小质因子。 
    }
}
for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=f[i-1]+f[i];

2. 求欧拉函数

对于正整数 (n)，欧拉函数是小于或等于 (n) 的正整数中与 (n) 互质的数的数目，记作 (varphi(n))。

(varphi(n)=sum_{i=1}^n [gcd(i,n)=1])

([a])：如果 (a) 为真，则 ([a]) 的值为 (1)；否则为 (0)。

设 (n=prod_{i=1}^k{p_i}^{c_i})（(p_i) 是质数）。

公式：(varphi(n)=nprod_{i=1}^k(1-frac{1}{p_i}))。

vis[0]=vis[1]=1,phi[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
    if(!vis[i]) p[++cnt]=i,phi[i]=i-1;    //当 i 为质数时，显然有 phi[i]=i-1。 
    for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=n;j++){
        vis[i*p[j]]=1;
        if(i%p[j]==0){
            phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];    //i 和 i*p[j] 都包含 p[j] 这个质因子。将 phi[i*p[j]] 和 phi[i] 按照公式写出，二者相除，商为 p[j]。 
            break;
        }
        phi[i*p[j]]=phi[i]*phi[p[j]];    //i 和 p[j] 互质。利用积性函数的性质。 
    }
}

3. 求莫比乌斯函数

(p_i) 是质数。(mu (n)=egin{cases}1&{n=1}\(-1)^k&c_{1,2,...,k}=1 (n=prod_{i=1}^k p_i^{c_i})\0&c_i>1end{cases})

证明莫比乌斯函数是积性函数：

对于 (forall a,b)，并且 (gcd(a,b)=1,ab=x)。(mu(a)mu(b))：

1. 若 (mu(a)=0) 或 (mu(b)=0)，则 (ab) 必含平方因子（即存在 (c_i>1)）。所以 (mu(a,b)=0)。

2. 否则，由于 (gcd(a,b)=1)，则 (ab) 不含平方因子。则 (mu(a)mu(b)=(-1)^{k_1}(-1)^{k_2}=(-1)^{k_1+k_2}=mu(ab))。

vis[0]=vis[1]=1,u[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
    if(!vis[i]) p[++cnt]=i,u[i]=-1;    //当 i 为质数时，此时 k=1 且 c1=1，显然有 u[i]=-1 
    for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=n;j++){
        vis[i*p[j]]=1;
        if(i%p[j]==0){u[i*p[j]]=0;break;}    //多了一个因子。此时 i*p[j] 必含平方因子，所以 u[i*p[j]]=0。 
        u[i*p[j]]=-u[i];    //新的因子。 
    }
}

4. 求约数个数

根据唯一分解定理，可得：(n=p_1^{c_1} imes p_2^{c_2} imes cdots imes p_k^{c_k}=prodlimits_{i=1}^kp_i^{c_i})。

(p_i^{c_i}) 的约数有 (p_i^0,p_i^1,cdots,p_i^{c_i}) 共 (c_i+1) 个，根据乘法原理，可得 (n) 的约数个数为 (d(n)=prodlimits_{i=1}^k (c_i+1))

令 (d_i) 表示 (i) 的约数个数，(g_i) 表示 (i) 的最小质因数的次数。

vis[0]=vis[1]=1,d[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
    if(!vis[i]) p[++cnt]=i,d[i]=2,g[i]=1;    //若 i 为质数，显然有 d[i]=2,g[i]=1 
    for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=n;j++){
        vis[i*p[j]]=1;
        if(i%p[j]==0){
            d[i*p[j]]=d[i]/(g[i]+1)*(g[i]+2);    //多了一个因子。并且 p[j] 是 i*p[j] 的最小质因子。d[i*p[j]]=(1+c1+1)(1+c2)...(1+ck)。 
            g[i*p[j]]=g[i]+1; 
            break;
        }
        d[i*p[j]]=d[i]*d[p[j]],g[i*p[j]]=1;    //新的因子。i*p[j] 之前不包含 p[j]。p[j] 是 i*p[j] 的最小质因子。 
    }
}

四、一般线性筛

一个积性函数 (f)，可以考虑以下的线性筛法：

• 要计算 (f(n))，考虑到 (n=prodlimits_{i=1}^k p_i^{c_i})。

• 在线性筛的过程中，如果 (imod p[j] eq 0)，就有 (f(icdot p[j])=f(i)f(p[j]))。

• 否则，考虑 (kmid (icdot p[j]),gcd(k,p[j])=1)，则有 (f(icdot p[j])=f(k)f(frac{icdot p[j]}{k}))。

• 因此，我们只需要记录对于每一个 (icdot p[j]) 对应的 (k)，或者推导出 (f(p^c)) 到 (f(p^{c+1})) 的关系式即可。